§ 3. Матрицы и линейные отображения

Пусть Е — модуль, и пусть существует базис — для Е над R. Это означает, что всякий элемент из Е имеет однозначное представление в виде линейной комбинации

где . Мы будем называть компонентами относительно этого базиса.

Упорядоченный набор из элементов можно рассматривать как строку. Будем обозначать через X столбец, полученный транспонированием строки называя также X столбцом элемента относительно заданного базиса.

Заметим, что если — другой базис Е над R, то . Действительно, пусть — некоторый максимальный идеал в R. Тогда -векторное пространство над полем и непосредственно ясно, что если обозначить через класс вычетов элемента то будет базисом для над Следовательно, равно также размерности этого векторного пространства, а инвариантность мощности базисов векторных пространств над полями нам известна. Таким образом, . Мы будем называть размерностью модуля Е над

Будем рассматривать как модуль столбцов высоты . Это свободный модуль размерности над R. Он имеет базис, состоящий из единичных векторов для которых в строке

все компоненты равны 0, за исключением компоненты, равной 1. Матрица А размера задает линейное отображение

по правилу

Действительно, для столбцов

Предыдущие рассмотрения могут быть распространены на несколько более общую ситуацию, которая может оказаться очень полезной. Пусть Е — абелева группа, причем R — коммутативное подкольцо в

Тогда Е есть -модуль. Кроме того, если А — матрица размера над R, то получаем линейное отображение

определяемое по правилу, аналогичному указанному выше, а именно . Это интерпретируется очевидным образом как обычное умножение матриц. Если — столбец элементов из Е, то

где

Если А, В — матрицы над R, для которых определено произведение, то для любого имеем

Таким образом,

Произвольное коммутативное кольцо можно рассматривать как модуль над собой. Тем самым мы снова приходим к частному случаю отображения RM в Кроме того, если Е — модуль над R, то можно рассматривать как кольцо эндоморфизмов Е.

Предложение 1. Пусть Е — свободный модуль над R с базисом — некоторые элементы из Е и А — такая матрица над R, что

Тогда является базисом в Е в том и только в том случае, если матрица А обратима.

Доказательство. Пусть X, Y — столбцы из наших элементов, т. е. Предположим, что Y — базис. Тогда существует матрица С над R, для которой так что откуда и аналогично следовательно, А обратима. Обратно, предположим, что А обратима. Если бы были связаны соотношением

, то, придав этому соотношению матричную форму

где В — строка и подставив вместо К его выражение , мы получили бы, что . Но — базис. Следовательно, а значит, и . Таким образом, и компоненты Y линейно независимы, что доказывает наше предложение.

Отметим, что в доказательстве второй половины предложения 1 использовалось лишь существование такой матрицы С, что Таким образом получаем

Следствие. Если для матрицы А существует матрица С, такая, что или , то матрица А обратима и

Возвратимся к нашей ситуации модулей над произвольным коммутативным кольцом

Пусть Е, F — модули. Мы увидим, как можно линейному отображению сопоставить матрицу, если только заданы базисы в Е и F. Предположим, что модули Е, F — свободные с базисами соответственно. Пусть

— линейное отображение. Существуют однозначно определенные элементы , такие, что

или, иначе,

(Отметим, что сумма берется по первому индексу.)

Полагаем

Если элемент выражен через базис, то мы обозначаем столбец X компонент элемента через . Имеем

Другими словами, если X — столбец компонент и М — матрица, ассоциированная с то Таким образом, действие линейного отображения выражается произведением матриц и мы имеем

Предложение 2. Пусть Е, F, D — модули и — конечные базисы в Е, F, D соответственно. Пусть

— линейные отображения. Тогда

Доказательство. Пусть А и В — матрицы, ассоциированные относительно заданных базисов с отображениями соответственно. Если - столбец, ассоциированный с то столбец, ассоциированный с равен Следовательно, В А есть матрица, ассоциированная с g о Это доказывает то, что нужно.

Следствие 1. Пусть . Тогда

Всякая матрица обратима.

Доказательство. Очевидно.

Следствие 2. Пусть Тогда

Доказательство. Очевидно.

Следствие 3. Пусть Е — свободный модуль размерности над R и — некоторый его базис. Отображение

является изоморфизмом кольца всех эндоморфизмов модуля Е на кольцо матриц размера над R. Фактически это отображение является изоморфизмом алгебр над

Мы будем называть матрицей, ассоциированной с относительно базиса .

Пусть Е — свободный модуль размерности над R. Под или понимается группа линейных автоморфизмов модуля Е. Это — группа единиц в . Под понимают группу обратимых матриц размера над только выбран базис для Е над R, мы получаем изоморфизм групп

относительно этого базиса.

Пусть

— некоторое линейное отображение. Выберем какой-нибудь базис и рассмотрим матрицу М, ассоциированную с относительно След полагаем по определению равным следу , т. е.

Если М — матрица относительно какого-то другого базиса, то существует обратимая матрица N, такая, что и, следовательно, след не зависит от выбора базиса.