§ 6. Дискретные нормирования

Нормирование называется дискретным, если его группа значений циклическая. В этом случае нормирование является абсолютным значением (если мы рассматриваем группу значений как подгруппу в группе положительных вещественных чисел). Для всякого простого числа -адическое нормирование поля рациональных чисел дискретно. В силу следствия 3 предложения 12 § 4 продолжение дискретного нормирования на конечное расширение также дискретно. Если не считать абсолютные значения, получаемые вложением поля в поле вещественных или комплексных чисел, дискретные нормирования являются практически наиболее важными абсолютными значениями. Мы посвятим им несколько замечаний.

Пусть v — дискретное нормирование поля — его кольцо нормирования, — максимальный идеал.

В m имеется элемент значение которого порождает всю группу значений. (Другой образующей группы значений служит элемент ) Такой элемент называется локальным параметром для v (или для ). Всякий элемент из К может быть записан в форме

где и — единица из — некоторое целое число. Действительно, для некоторого , откуда вытекает, что единица в . Мы называем порядком относительно v. Он, очевидно, не зависит от выбора параметра. Мы будем также говорить, что имеет нуль порядка . (Если отрицательно, то мы говорим, что имеет полюс порядка —

В частности, мы видим, что — главный идеал, порожденный . В качестве упражнения проверьте, что всякий идеал в о главный и является степенью Заметим, кроме того, что — факториальное кольцо с единственным простым элементом (с точностью до единиц), а именно

Для элементов будем использовать запись , если Пусть -последовательность элементов из , таких, что Пусть R — множество представителей в . Это означает, что каноническое отображение индуцирует биекцию R на Всякий элемент из о может быть записан в виде сходящегося ряда

где коэффициенты однозначно определяются элементом Это легко доказывается посредством индуктивного рассуждения. Предположим, что

Тогда для некоторого . По предположению для некоторого Отсюда получаем

и ясно, что член нашего ряда стремится к 0. Очевидно, что построенный таким образом ряд сходится к Если поле К — полное относительно нашего нормирования, то всякий такой ряд сходится к некоторому элементу из К (в силу неархимедовости ). Из того факта, что R содержит точно по одному представителю для каждого класса вычетов вытекает, что однозначно определены

Примеры. Рассмотрим сначала случай поля рациональных чисел с -адическим нормированием Пополнение обозначим символом . Это поле -адических чисел. Замыкание Z в называется кольцом целых -адических чисел . Отметим, что простое число является простым элементом и в кольце Z, и в его замыкании Мы можем выбрать в качестве нашего множества представителей R множество целых чисел ). Таким образом, всякое целое -адическое число может быть записано в виде сходящейся суммы где — целые числа, Эта сумма называется -адическим разложением. Такие суммы складываются и умножаются обычным способом как сходящиеся ряды.

Например, справедлив обычный формализм для геометрической прогрессии, и, скажем, для

Отметим, что представители ) ни в коей мере не являются единственными, могущими быть использованными. В действительности можно доказать, что содержит корни степени из единицы, и часто удобнее выбирать эти корни из единицы в качестве представителей для ненулевых элементов поля вычетов.

Теперь рассмотрим случай поля рациональных функций k(t), где -произвольное поле и t трансцендентно над k. Возьмем нормирование, определяемое простым элементом t кольца Это нормирование дискретно, а пополнением относительно него служит кольцо степенных рядов Мы можем взять элементы из k в качестве представителей поля вычетов, которое канонически изоморфно k. Максимальным идеалом в является идеал, порожденный

Все это представляет собой алгебраизацию обычной ситуации, возникающей в теории функций комплексного переменного. Например, пусть -точка на комплексной плоскости и о — кольцо функций, голоморфных в некотором круге с центром Тогда — кольцо дискретного нормирования, максимальный идеал которого состоит из тех функций, которые имеют нуль в Всякий элемент из о обладает разложением в степенной ряд

В качестве представителей поля вычетов могут быть взяты комплексные числа Если то говорят, что имеет нуль порядка . Порядок будет один и тот же, иметь ли в виду порядок относительно дискретного нормирования в алгебраическом смысле, или порядок в смысле теории функций комплексного переменного.

Мы можем выбрать канонический униформизирующий параметр, а именно и

где -степенной ряд, начинающийся с ненулевой константы. Таким образом, обратим.

Пусть снова К — поле, полное относительно некоторого дискретного нормирования, и Е — конечное расширение К. Пусть — кольцо нормирования в Е и его максимальный идеал, лежащие над . Пусть П — простой элемент в Е. Если — группы значений нормирований в соответственно и

— индекс ветвления, то

а элементы

имеют порядок в Е.

Пусть элементы из классы вычетов которых образуют базис в . Если R, как и выше, обозначает множество представителей поля в о, то множество, состоящее из всех элементов вида

где , будет множеством представителей для Отсюда видно, что всякий элемент из обладает сходящимся разложением

Таким образом, элементы образуют множество образующих как модуля над . С другой стороны, мы видели в доказательстве предложения 13 из § 4, что эти элементы линейно независимы над К. Следовательно, получаем

Предложение 18. Пусть К — поле, полное относительно дискретного нормирования, Е — конечное расширение , f — соответственно индекс ветвления и степень поля вычетов. Тогда

Следствие 1. Пусть — нормирование на К и w — его продолжение на Е. Тогда

Доказательство. Это вытекает непосредственно из формулы

и из определений.

Следствие 2. Пусть К — произвольное поле и v — дискретное нормирование на К. Пусть Е — конечное расширение поля К. Если v хорошо себя ведет в Е (например, если Е сепарабельно над К), то

Если Е — расширение Галуа над К, то все равны одному и тому же числу , а все — одному и тому же числу , так что

где — число продолжений v на Е.

Доказательство. Первое утверждение вытекает из нашего предположения и из предложения 8 § 3. Если Е — расширение Галуа над К, то, как мы знаем из следствия 2 предложения 17 § 4, любые два нормирования поля Е, лежащие над v, сопряжены. Следовательно, все индексы ветвления равны и то же самое верно для степеней полей вычетов. Наше соотношение теперь очевидно.