УПРАЖНЕНИЯ

1. Показать, что всякий модуль над кольцом А является гомоморфным образом некоторого свободного модуля.

2. Обобщить утверждение теоремы 3 о размерности векторных пространств на свободные модули над произвольным коммутативным кольцом. [Указание: вспомнить, как аналогичное утверждение доказывалось для свободных абелевых групп, и воспользоваться максимальными идеалами вместо простых чисел]

3. Провести подробное доказательство того, что условия расщепимости последовательности, данные в предложении 3, эквивалентны. Показать, что

послздовательность расщепляется в том и только в том случае, если существует подмодуль N в М, такой, что модуль М равен прямой сумме и что в этом случае N изоморфен .

Восстановить все детали в доказательстве предложения 3.

4. Пусть А — коммутативное кольцо, М — А-модуль и S — мультипликативное подмножество в А. Определить способом, аналогичным тому, который мы использовали при определении и показать, что будет -модулем.

5. Пусть А и S обозначают то же, что в упражнении 4. Показать, что если - точная последовательность, то и последовательность точна.

6. Пусть V — векторное пространство над полем К и U, W — его подпространства. Показать, что

7. Пусть E и — модули над некоторым кольцом. Пусть — гомоморфизмы, обладающие следующими свойствами:

Показать, что отображение ) является изоморфизмом Е на прямое произведение модулей , а отображение

— изоморфизмом этого прямого произведения на Е.

Обратно, если модуль Е равен прямому произведению (или сумме) подмодулей и если обозначить через вложение в Е и через — проекцию Е на , то эти отображения обладают указанными выше свойствами.

8. Проективные модули. Пусть А — кольцо. Модуль Р над А называется проективным, если для любых заданных гомоморфизма и сюръективного гомоморфизма существует гомоморфизм , для которого коммутативна следующая диаграмма:

Доказать:

(а) Прямая сумма модулей проективна в том и только в том случае, если каждое слагаемое проективно.

(б) Модуль Р проективен в том и только в том случае, если существует модуль М, такой, что свободен.

(в) Всякий модуль М может быть включен в точную последовательность с проективным модулем упражнение 1).

(г) Модуль Р проективен в том и только в том случае, если всякая точная последовательность

расщепляется.

9. Инъективные модули. Пусть А — кольцо. Модуль Q называется инъективным, если для любых данных модуля N, его подмодуля N и гомоморфизма существует продолжение этого гомоморфизма на N, т. е. существует гомоморфизм для которого коммутативна следующая диаграмма:

Доказать:

(а) Прямое произведение модулей инъективно в том и только в том случае, если каждый сомножитель инъективен.

(б) Абелева группа рассматриваемая как модуль над кольцом целых чисел Z, инъективна. (Использовать лемму Цорна.) То же утверждение справедливо для где R — группа вещественных чисел.

(в) Пусть Q — модуль над А. Предположим, что для всякого левого идеала J кольца А любой гомоморфизм может быть продолжен до гомоморфизма А в Q. Тогда Q инъективен. [Указание: при заданных возьмем Пусть J — левый идеал, состоящий из элементов для которых Пусть гомоморфизм продолжен на А; продолжить по формуле для Затем использовать лемму Цорна.]

(г) Пусть превратим в А-модуль, полагая для Используя (в), показать, что инъективен.

(д) Всякий модуль является подмодулем некоторого инъективного модуля. [Указание: пусгь М — А-модуль и . Показать, что существует гомоморфизм для которого . Пусть J — идеал в А, аннулирующий — гомоморфизм, обращающийся в нуль на У и такой, что . Построить для которого Затем взягь произведение всех

(е) Модуль Q инъективен тогда и только тогда, когда всякая точная последовательность

расщепляется.

10. Пусть А — аддитивная подгруппа евклидова пространства предположим, что во всякой ограниченной области пространства содержится лишь конечное число элементов из А. Показать, что А — свободная абелева группа с числом образующих п. [Указание: провести индукцию по максимальному числу линейно независимых над R элементов из А. Пусть — максимальное множество таких элементов, и пусть — подгруппа в А, содержащаяся в -пространстве, порожденном По предположению индукции любой элемент в есть линейная целочисленная комбинация элементов Пусть S — подмножество элементов вида с вещественными коэффициентами удовлетворяющими неравенствам

Пусть - элемент из S с наименьшим показать, что будет базисом в А над