§ 4. Тензорное произведение алгебр

В предыдущих рассмотрениях ситуация была несимметричной: мы могли иметь дело с некоммутативной алгеброй А, но непременно должно было быть коммутативным. Предположим теперь, что мы имеем дело с симметричной ситуацией, когда все рассматриваемые кольца коммутативны.

Предложение 9. В категории коммутативных колец и в категории коммутативных алгебр над коммутативным кольцом существуют копроизведения. Если — два гомоморфизма коммутативных колец, то их копроизведение над k — это гомоморфизм , задаваемый правилом

Доказательство. Мы ограничим наше доказательство случаем конечных копроизведений и, следовательно, в силу индуктивных соображений — случаем копроизведения двух кольцевых гомоморфизмов (Для бесконечного случая необходим предельный процесс, аналогичный использованному в доказательстве следствия к предложению 3 и доступный читателю в качестве легкого упражнения.)

Пусть А, В — коммутативные кольца с заданными кольцевыми гомоморфизмами в некоторое коммутативное кольцо С

Тогда мы можем определить - билинейное отображение

положив Отсюда в силу свойства универсальности тензорного произведения мы получаем однозначно определенный аддитивный гомоморфизм

для которого . Выше мы видели, что на можно определить структуру кольца

Тогда ясно, что наше отображение является гомоморфизмом колец. Имеем также два кольцевых гомоморфизма

задаваемых правилами

причем, очевидно, порождается образами колец А и В относительно этих гомоморфизмов. Теперь непосредственно видно, что есть копроизведение наших колец А и В.

Если А, В, С — -алгебры и если таковы, что коммутативна следующая диаграмма:

то также есть -алгебра (фактически это есть алгебра над над А или над В, в зависимости от того, какую из этих структур мы хотим использовать) и отображение полученное выше, дает гомоморфизм -алгебр.

Любое коммутативное кольцо всегда можно рассматривать как -алгебру (т. е. как алгебру над кольцом целых чисел). Таким образом, копроизведение коммутативных колец является частным случаем копроизведения -алгебр.