УПРАЖНЕНИЯ

1. Интерпретировать ранг матрицы А в терминах размерности образа и ядра линейного отображения

2. Пусть — модуль над коммутативным кольцом R. Говоря, что билинейное отображение записываемое в виде , наделяет g структурой алгебры , если и

(а) Пусть — кольцо матриц над R. Показать, что если то произведение

превращает в алгебру Ли.

(б) Пусть — алгебра Ли. Сопоставим всякому элементу линейное отображение задаваемое формулой . Показать, что дифференцирование g в себя (т. е. удовлетворяет правилу ).

(в) Показать, что отображение является гомоморфизмом алгебры g в модуль дифференцирований g в себя

3. Если задано некоторое множество многочленов в кольце многочленов то нуль этого множества в R — это всякая матрица такая, что для всех v. Используя векторные обозначения, пишем Пусть обозначает множество нулей нашего множества многочленов Таким образом, и если R — произвольная коммутативная ассоциативная -алгебра, то Мы будем говорить, что множество определяет алгебраическую группу над R, если G (R) есть подгруппа группы для всех R (где ) — мультипликативная группа обратимых матриц в

Например, группа матриц, удовлетворяющих уравнению , является алгебраической группой.

Пусть — -алгебра, которая свободна как -модуль с базисом где Обозначим через множество матриц ), таких, что Показать, что g — алгебра Ли. [Указание: заметить, что

Использовать алгебру , где чтобы показать, что если то

(Я взял предыдущее из первых четырех страниц записок Серра по группам и алгебрам Ли (Sеrrе J. P. Lie algebras and Lie groups, New York — Amsterdam, 196S (готовится русский перевод в изд-ве „Мир")). За дальнейшей информацией, помимо записок Серра, можно обращаться к книгам Джекобсона, Бурбаки и др.)

4. Пусть Е — конечное расширение поля к. Возьмем элемент и рассмотрим - линейное отображение , для которого Показать, что след этого линейного отображения совпадает со следом , определенным в теории полей. [Указание: сначала предположить, что взять в качестве базиса степени а и вычислить след относительно этого базиса. Какова будет матрица относительно этого

S. Пусть Е — конечное расширение поля k. Показать, что норма (а) равна определителю (обозначения из предыдущего упражнения).

6. Пусть А — обратимая матрица над коммутативным кольцом R. Показать, что

7. Пусть — неособая билинейная форма на модуле Е над R. Пусть А — -автоморфизм модуля Е. Показать, что Доказать то же самое в эрмитовом случае, т. е. что

8. Пусть — строки размерности над полем k. Пусть Под системой линейных уравнений над k понимают систему типа

Если то говорят, что система однородная. Мы называем числом неизвестных, а — числом уравнений. Решение X однородной системы называется тривиальным, если .

(а) Показать, что однородная система из линейных уравнений с неизвестными при всегда имеет нетривиальное решение.

(б) Пусть L — система однородных линейных уравнений над полем k, причем k — подполе в k. Показать, что если L имеет нетривиальное решение в k, то она имеет нетривиальное решение также в

9. Пусть матрица размера над полем k. Предположим, что для всех матриц X размера над k. Показать, что .

10. Пусть S — некоторое множество матриц размера над полем k. Показать, что столбец размерности над k такой, что для всех существует в том и только в том случае, если такой столбец существует над некоторым расширением k поля

11. Пусть К — тело над полем вещественных чисел, порожденное элементами i, j, k, такими, что и

Тогда К обладает антиавтоморфизмом порядка 2, задаваемым отображением

Обозначим этот антиавтоморфизм так: . Чему равно Показать, что теория эрмитовых форм может быть построена над телом К, которое называется телом кватернионов.

12. Пусть — многочлены от переменных над полем k, которое можно считать алгебраически замкнутым. Предположим, что эти многочлены порождают единичный идеал в кольце многочленов

Выяснить, существуют ли многочлены что определитель

равен 1. (Это очень интересная проблема, которая впервые возникла, когда Серр пытался узнать, является ли всякий конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов свободным. Ответ на нее до сих пор неизвестен (при ). Однако если берутся из целостного кольца главных идеалов, то аналогичная задача является легким упражнением.)

13. Пусть А, В — квадратные матрицы одного и того же размера над полем k. Предположим, что В неособая (т. е. обратимая). Показать, что если t — переменная, то является многочленом от t, старший коэффициент которого есть , а свободный член равен .