§ 8. Теория Куммера

В этом параграфе мы дадим обобщение теоремы, касающейся циклических расширений, на тот случай, когда основное поле содержит достаточно много корней из единицы.

Пусть k — поле и — положительное целое число. Расширение Галуа К поля k с группой G называется расширением показателя , если для всех

Мы будем исследовать абелевы расширения показателя т. Сначала предположим, что взаимно просто с характеристикой поля k и что k содержит примитивный корень степени из единицы. Обозначим через группу корней степени из 1. Будем предполагать в этом параграфе, что все наши алгебраические расширения содержатся в некотором фиксированном алгебраическом замыкании

Пусть . Выражение (или ) не определено однозначно. Если — корень степени из единицы, то также и . Мы будем использовать символ для обозначения любого такого элемента а и все такие элементы а будем называть корнями степени из а. Заметим, что, поскольку корни степени из единицы лежат в основном поле, поле будет одним и тем же независимо от того, какой корень степени а из а мы выберем. Мы будем обозначать это поле символом

Обозначим через подгруппу в k, состоящую из всех степеней ненулевых элементов из k. Это образ группы к при гомоморфизме

Пусть В — подгруппа k, содержащая . Мы будем обозначать символом или композит всех полей однозначно определен подгруппой В как подполе в

Пусть и а — корень степени из а. Многочлен разлагается на линейные множители в и, таким образом, — расширение Галуа над k, поскольку это выполняется для всех . Пусть G — его группа Галуа. Если то где — некоторый корень степени из единицы. Отображение

является, очевидно, гомоморфизмом G в , т. е. для , имеем Мы можем написать . Этот корень из единицы не зависит от выбора корня степени из а, поскольку если а — другой корень степени, то для некоторого , откуда

Обозначим символом . Соответствие

дает нам отображение

Если , то и, следовательно,

Отсюда, заключаем, что предыдущее отображение билинейно. Кроме того, если , то

Теорема 13. Пусть k — поле и — целое число взаимно простое с характеристикой поля k, причем примитивный корень степени из единицы лежит в k. Пусть В — подгруппа в к, содержащая Тогда — абелево расширение Галуа показателя . Пусть G — его группа Галуа. Имеет место билинейное отображение

Если , то . Ядро слева равно 1, а ядро справа есть . Расширение конечно тогда и только тогда, когда индекс () конечен, и в этом случае

Доказательство. Пусть причем для всех Тогда для всякого примитивного элемента а поля такого, что . Следовательно, о индуцирует тождественное отображение на и ядро слева равно 1. Пусть причем для всех . Рассмотрим подполе Если не лежит в k, то существует автоморфизм поля над k, не являющийся тождественным. Продолжим этот автоморфизм на и обозначим продолжение снова через а. Тогда ясно, что Это доказывает наше утверждение.

В силу теоремы двойственности из гл. I, § 11 мы видим, что группа G конечна тогда и только тогда, когда конечна группа и в этом случае порядок G равен индексу .

Теорема 14. В обозначениях теоремы 13 отображение дает биективное соответствие между множеством подгрупп в k, содержащих и множеством абелевых расширений над k показателя .

Доказательство. Пусть — подгруппы в k, содержащие . Если , то Обратно, предположим, что . Мы хотим доказать, что Пусть Тогда причем содержится в конечно порожденном подрасширении в . Таким образом, не теряя общности, мы можем предполагать, что группа — конечно порожденная и, следовательно, конечная. Пусть — подгруппа в k, порожденная и b. Тогда а из того, что мы видели выше, вытекает, что степень этого поля над k есть

Таким образом, эти два индекса равны и . Это доказывает, что .

Итак, мы получили вложение нашего множества групп В в множество абелевых расширений поля k, имеющих показатель . Предположим теперь, что К — некоторое абелево расширение над k показателя . Любое конечное подрасширение есть композит циклических расширений показателя , поскольку всякая конечная абелева группа является произведением циклических групп, и мы можем применить следствие 2 теоремы S, § 1. В силу теоремы 10 всякое циклическое расширение может быть получено присоединением корня степени. Следовательно, К может быть получено присоединением семейства корней степени, скажем корней степени из элементов где . Пусть В — подгруппа в k, порожденная всеми b и

Если где , то, очевидно,

Следовательно, что и требовалось доказать.

В случае когда мы имеем дело с абелевыми расширениями показателя , равного характеристике, мы должны развить аддитивную теорию, находящуюся к теоремам 13 и 14 в таком же отношении, теорема 11 к теореме 10.

Пусть - поле характеристики . Определим оператор , положив

для . Тогда есть аддитивный гомоморфизм поля k в себя. Подгруппа играет ту же роль, что и подгруппа в мультипликативной теории для случая, когда — простое число. Теория, касающаяся степеней р, несколько сложнее и принадлежит Витту. Читателя, желающего посмотреть, как она выглядит, мы отсылаем к упражнениям.

Корень многочлена будем обозначать через Для всякой подгруппы В в к, содержащей положим Это поле, полученное присоединением к k для всех Подчеркнем тот факт, что В — аддитивная подгруппа в

Теорема 15. Пусть - поле характеристики . Отображение является биективным соответствием между подгруппами в k, содержащими и абелевыми расширениями поля k, имеющими показатель . Пусть и G — группа Галуа этого расширения. Имеет место билинейное отображение

Если , то . Ядро слева равно 1, а ядро справа есть Расширение конечно тогда и только тогда, когда индекс () конечен, и в этом случае

Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательствам теорем 13 и 14. Оно может быть получено заменой умножения сложением и использованием корней" вместо корней степени. Никаких других изменений в доказательстве не требуется.

Аналогичная теорема для абелевых расширений показателя требует векторов Витта и будет изложена в упражнениях.