§ 4. Сепарабельные расширения

Пусть Е — алгебраическое расширение поля F и

— вложение F в алгебраически замкнутое поле L. Исследуем более подробно продолжения о на Е. Любое такое продолжение а отображает Е на подполе в L, алгебраическое над Таким образом, для наших целей мы можем предполагать, что L алгебраично над и, следовательно, совпадает с алгебраическим замыканием поля

Обозначим через множество продолжений а до вложения Е в

Пусть L — другое алгебраически замкнутое поле, и пусть — вложение. Мы предполагаем, как и выше, что L есть алгебраическое замыкание поля . В силу теоремы 2 существует изоморфизм к: продолжающий отображение то определенное на . Это иллюстрируется следующей диаграммой:

Обозначим через множество вложений Е в U, продолжающих .

Если -продолжение до вложения Е в L, то к а будет продолжением до вложения Е в поскольку при ограничении на F мы имеем

Таким образом, индуцирует отображение . Ясно, что обратное отображение индуцируется изоморфизмом и, следовательно, приводятся во взаимно однозначное соответствие отображением

В частности, мощность одна и та же. Таким образом, эта мощность зависит только от расширения мы будем обозначать ее через

и называть сепарабельной степенью Е над F. Она представляет интерес главным образом в том случае, когда конечно.

Теорема 6. Для всякой башни

Если, кроме того, Е конечно над k, то конечна и

Таким образом, сепарабельная степень не превосходит степени.

Доказательство. Пусть — вложение поля k в алгебраически замкнутое поле — семейство различных продолжений о на F, и для каждого i пусть — семейство различных продолжений на Е. В силу доказанного выше каждое имеет ровно продолжений до вложения Е в L. Множество вложений содержит ровно

элементов. Всякое вложение Е в L над должно быть одним из , и, таким образом, мы видим, что первая формула выполняется, т. е. имеет место мультипликативность сепарабельных степеней в башнях.

Что касается второго утверждения, то предположим, что конечно. Тогда мы можем получить Е как башню расширений, каждый этаж которой порождается одним элементом

Если мы определим индуктивно , то в силу предложения 8 из § 2 будем иметь

Таким образом, наше неравенство выполняется для каждого этажа башни. В силу мультипликативности отсюда вытекает, что неравенство справедливо для расширения что и требовалось показать.

Следствие. Пусть Е конечно над k и . Равенство выполняется тогда и только тогда, когда соответствующее равенство выполняется для каждого этажа башни, т. е. для

Доказательство. Очевидно.

Позднее будет показано (это нетрудно показать), что делит степень когда Е конечно над k. Определим как частное, так что

Из мультипликативности в башнях степени и сепарабельной степени вытекает, что символ также мультипликативен в башнях, Мы будем иметь с ним дело в § 7.

Пусть Е — конечное расширение поля k. Мы будем говорить, что Е сепарабельно над k, если . Алгебраический над k элемент а называется сепарабельным над k, если сепарабельно над k. Мы видим, что это условие эквивалентно тому, что неприводимый многочлен не имеет кратных корней.

Многочлен называется сепарабельным, если у него нет кратных корней. Если а — корень сепарабельного многочлена , то неприводимый многочлен элемента а над k делит g и, следовательно, а сепарабелен над

Сейчас мы сделаем несколько дополнительных замечаний к предложению 8. Читатель может опустить эти замечания, если он интересуется только полями характеристики 0 или сепарабельными расширениями.

Пусть — многочлен причем g(X) не делится на . Напомним, что называется кратностью а в . Мы говорим, что а — кратный корень если . В противном случае мы говорим, что а — простой корень.

Предложение 9. Пусть а — алгебраический элемент над и пусть . Если то все корни многочлена имеют кратность сепарабелен. Если то существует целое число такое, что всякий корень f имеет кратность . Далее,

и элемент сепарабелен над

Доказательство. Пусть — различные корни многочлена в — кратность корня Для всякого существует изоморфизм

над k, для которого Продолжим до автоморфизма поля k будем обозначать это продолжение по-прежнему через а.

Так как коэффициенты лежат в k, то Заметим, что

где — кратность в силу однозначности разложения на множители заключаем, и, следовательно, все равны одному и тому же целому числу .

Рассмотрим производную Если имеют общий корень, то а будет корнем многочлена меньшей степени, чем . Это невозможно, за исключением случая, когда другими словами, когда производная тождественно равна 0. Если характеристика равна 0, этого не может произойти. Следовательно, если имеет кратные корни, то мы имеем случай характеристики и для некоторого многочлена Поэтому — корень многочлена g, степень которого Продолжая по индукции, мы получим наименьшее целое число такое, что является корнем сепарабельного многочлена из а именно такого многочлена для которого

Сравнивая степени заключаем, что

По индукции находим

Так как h имеет корни кратности 1, то

и, сравнивая степени многочленов и h, мы видим, что число различных корней равно числу различных корней у h. Следовательно,

Отсюда наша формула для степеней вытекает в силу мультипликативности, так что утверждение доказано. Отметим, что корнями многочлена h являются

Следствие 1. Для любого конечного расширения Е поля k сепарабельная степень делит, степень Частное равно 1 в случае поля характеристики 0 и равно некоторой степени в случае поля характеристики

Доказательство. Разложим в башню, каждый этаж которой порождается одним элементом, и применим предложение 9 с учетом мультипликативности наших индексов в башнях.

Если конечно, то мы называем

несепарабельной степенью (или степенью несепарабельности) и обозначаем ее через Таким образом,

Следствие 2. Конечное расширение сепарабельно тогда и только тогда, когда

Доказательство. По определению.

Следствие 3. Если два конечных расширения, то

Доказательство. Очевидно.

Отметим, что если элемент а сепарабелен над - произвольное расширение поля k, то а сепарабелен над F. Действительно, если — сепарабельный многочлен из для которого то, поскольку коэффициенты лежат также и в F, а сепарабелен и над F. (Можно сказать, что сепарабельный элемент остается сепарабельным при подъеме.)

Теорема 7. Пусть Е — конечное расширение поля k. Тогда для сепарабельности Е над k необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент из Е был сепарабельным над

Доказательство. Пусть Е сепарабельно над k и Рассмотрим башню

В силу теоремы мы должны иметь равенство означающее, что а сепарабелен над k. Обратно, предположим, что каждый элемент из Е сепарабелен над k. Мы можем записать где каждый а; сепарабелен над k. Рассмотрим башню

Будучи сепарабельным над k, каждый элемент сепарабелен над при . Следовательно, по теореме о башне Е сепарабельно над

Заметим, что наше последнее рассуждение показывает, что если Е порождается конечным числом элементов, каждый из которых сепарабелен над k, то Е сепарабельно над

Пусть Е — произвольное алгебраическое расширение поля k. Будем говорить, что Е сепарабельно над k, если всякое его конечно порожденное подрасширение сепарабельно над k, т. е. если всякое расширение где сепарабельно над

Теорема 8. Пусть Е — алгебраическое расширение поля k, порожденное семейством Если каждый элемент а, - сепарабелен над k, то Е сепарабельно над

Доказательство. Всякий элемент из Е лежит в некотором конечно порожденном подполе как мы отметили выше, каждое такое подполе сепарабельно над k. Следовательно, в силу теоремы 7, всякий элемент из Е сепарабелен над k, что и завершает доказательство.

Теорема 9. Сепарабельные расширения образуют отмеченный класс расширений.

Доказательство. Пусть Е сепарабельно над k и . Всякий элемент из Е сепарабелен над F, и всякий элемент из F, будучи элементом из Е, сепарабелен над k. Следовательно, каждый этаж в башне сепарабелен. Обратно, предположим, что — некоторое расширение, для которого сепарабельно и сепарабельно. Если Е конечно над k, то мы можем применить теорему 6. А именно мы имеем равенство сепарабельной степени и степени в каждом этаже башни, откуда в силу мультипликативности вытекает равенство степеней для Е над

Пусть теперь Е бесконечно и . Тогда а будет корнем сепарабельного многочлена f (X) с коэффициентами из F. Пусть этими коэффициентами будут Положим

Тогда сепарабельно над k и а сепарабелен над Теперь из рассмотрения конечной башни

заключаем, что сепарабельно над k и что, следовательно, а сепарабелен над k. Это доказывает условие в определении «отмеченности».

Пусть Е сепарабельно над k и - произвольное расширение поля k, причем оба расширения Е, F являются подполями некоторого поля. Всякий элемент из Е сепарабелен над k, а потому сепарабелен над F. Так как порождается над F всеми элементами из Е, то сепарабельно над F в силу теоремы 8. Это доказывает условие в определении «отмеченности» и завершает доказательство нашей теоремы.

Пусть Е — конечное расширение над k. Пересечение всех нормальных расширений К поля k (в алгебраическом замыкании Е), содержащих Е, есть нормальное расширение над k, которое содержит Е и, очевидно, является наименьшим нормальным расширением поля содержащим Е.

Если все различные вложения Е в Е, то расширение

композит всех этих вложений, является нормальным расширением k. Действительно, любое его вложение, скажем , мы можем применить к каждому расширению тогда будет перестановкой совокупности и, следовательно, отображает К в себя. Всякое нормальное расширение поля k, содержащее Е, должно содержать для каждого и, таким образом, наименьшее нормальное расширение поля k, содержащее Е, в точности равно композиту

Если Е сепарабельно над А, то из теоремы 9 с помощью индукции заключаем, что наименьшее нормальное расширение поля k, содержащее Е, также сепарабельно над

Аналогичные результаты будут справедливы и для бесконечного алгебраического расширения Е поля k, если взять бесконечный композит. Что касается терминологии, то если Е — алгебраическое расширение поля k и а — произвольное вложение Е в k над k, то мы называем поле сопряженным с Е в k. Мы можем сказать, что наименьшее нормальное расширение поля k, содержащее Е, есть композит всех сопряженных с Е подполей в Е.

Пусть а — алгебраический элемент над k. Если — различные вложения поля в k над k, то мы называем элементы сопряженными с а в k. Этими элементами являются попросту различные корни неприводимого многочлена над k, соответствующего элементу а. Наименьшее нормальное расширение поля k, содержащее один из этих сопряженных элементов, совпадает с .