§ 7. Нули многочленов в полных полях

Пусть К — поле, полное относительно некоторого нетривиального абсолютного значения.

Пусть

— многочлен из со старшим коэффициентом 1 и с различными корнями кратностей Обозначим через d степень . Пусть g — другой многочлен с коэффициентами из К также степени d и со старшим коэффициентом 1. Обозначим через — максимум абсолютных значений коэффициентов g. Легко видеть, что если величина ограничена, то абсолютные значения корней g также ограничены.

Предположим, что g близок к в том смысле, что величина мала. Если — корень g, то величина

мала и, следовательно, должен быть близок к некоторому корню

Если близок, скажем, к то его расстояние до других корней близко к расстоянию от до других корней, а потому ограничено снизу. В этом случае мы будем говорить, что принадлежит а.

Предл ожение 19. Если многочлен g достаточно близок к -корни g, принадлежащие а (с учетом кратностей), то есть кратность а в

Доказательство. Предположим противное. Тогда можно найти последовательность многочленов стремящихся к у которых имеется точно S корней принадлежащих , причем (Мы можем брать многочлены с одним и тем же S, так как имеется лишь конечное число возможных значений для s.) Кроме того, остальные корни также принадлежат корням и мы можем предполагать, что эти корни сгруппированы в соответствии с тем, какому корню они принадлежат. Так как то заключаем, что а должен иметь кратность s в f — противоречие.

Исследуем теперь условия, при которых многочлен имеет корень в полном поле.

Предположим, что К — поле, полное относительно некоторого дискретного нормирования с кольцом нормирования о и максимальным идеалом . Пусть —фиксированный простой элемент в

Мы будем иметь дело с -мерным пространством над о. Вектор , где , будем обозначать через А. Будем говорить, что А — нуль многочлена от переменных, если и что А нуль по модулю если

Пусть - вектор из — целое число -Исследуем природу решений сравнения вида

Это сравнение эквивалентно линейному сравнению

Если хоть один коэффициент не сравним с , то множество решений не пусто и имеет обычную структуру решения одного неоднородного линейного уравнения над полем . В частности, оно имеет размерность Сравнение или где хотя бы одно будет называться собственным сравнением.

Обозначим через формальную частную производную от по и введем запись

Предложение 20. Пусть — целое число 1. Пусть — вектор, такой, что

Пусть v — челое число — вектор, для которого

Вектор тогда и только тогда удовлетворяет сравнениям

когда он может быть записан в виде , где некоторый вектор, удовлетворяющий собственному сравнению

Доказательство. Доказательство короче, чем формулировка предложения. Пусть Запишем разложение Тейлора

Решая это сравнение по модулю получаем, согласно предположению, собственное сравнение, поскольку

Следствие 1. В предпосылках предложения 20 существует нуль многочлена сравнимый с

Доказательство. Мы можем записать этот нуль в виде сходящегося ряда

вычисляя индуктивно, как в предложении.

Следствие 2. Пусть — многочлен от одной переменной из и пусть элемент удовлетворяет условиям , но . Тогда существует элемент , такой, что

Доказательство. Возьмем в предложении и применим следствие 1,

Следствие 3. Пусть — положительное целое число, не делящееся на характеристику поля К. Тогда существует целое число , такое, что для всякого уравнение имеет корень в К.

Доказательство. Применить предложение.

Пример. В 2-адическом поле существует квадратный корень из —7, т. е. , так как .

(Об уточнениях предыдущего предложения см. N. Bourbaki, АёЬге Commutative, Ch. III, § 4, S.) В тех случаях, когда абсолютное значение недискретно, также можно сформулировать критерий существования нуля у многочлена.

Предложение 21. Пусть К — поле, полное относительно неархимедова абсолютного значения (нетривиального). Пусть о — его кольцо нормирования, многочлен от одной переменной, и пусть элемент таков, что

(здесь f обозначает формальную производную многочлена f). Тогда последовательность

сходится к некоторому корню а многочлена f, лежащему в , и имеет место неравенство

Доказательство. Это легкое упражнение. Мы предоставляем детали читателю. Отметим, что здесь снова показатель 2 дает точное условие того, что приближенный корень можно поднять до настоящего корня. В тех случаях, когда абсолютное значение дискретно, предложение 21 превращается в частный случай предложения 20.

Техника, используемая в этом предложении, полезна также при рассмотрении некоторых колец, скажем локального кольца с максимальным идеалом таким, что для некоторого целого . Если имеется многочлен из о и приближенный корень для которого то аппроксимационная последовательность Ньютона показывает, как поднять до корня