§ 10. Результант

В этом параграфе мы предполагаем, что читатель знаком с определителями. Теория определителей будет изложена позднее.

Пусть А — коммутативное кольцо, и пусть алгебраически независимы над А. Образуем два многочлена

Назовем результантом наборов или многочленов определитель

Пустые места предполагаются заполненными нулями.

Если подставить вместо в коэффициенты многочленов соответственно элементы из А, то получатся многочлены коэффициентами в А, и мы берем в качестве их результанта определитель, полученный подстановкой (а) вместо вместо в написанный выше определитель. Результант многочленов будем обозначать символом

Результант получается подстановкой (а) и вместо соответственно

Заметим, что — многочлен с целочисленными коэффициентами, т. е. мы можем взять Если z — переменная, то

что непосредственно видно, если вынести z из первых строк (соответственно последних строк) определителя. Таким образом, R однороден степени по первому набору переменных и однороден степени по второму набору переменных.

Кроме того, будучи представлен в виде суммы одночленов, результант содержит одночлен

с коэффициентом 1.

Если подставить в результант 0 вместо , то получится G, поскольку обратится в 0 первый столбец определителя.

Будем теперь действовать над кольцом целых чисел Z. Рассмотрим линейные уравнения

Пусть С — столбец, составленный из левых частей, и пусть

— столбцы из коэффициентов. Наши уравнения могут быть записаны так:

По правилу Крамера, примененному к последней неизвестной, а именно к 1, получаем

Отсюда мы видим, что существуют такие многочлены

, для которых

Отметим, что но многочлены в левой части содержат переменную X.

Пусть — гомоморфизм в коммутативное кольцо А. Положим тогда

Таким образом, из общего соотношения для результанта над Z мы получаем аналогичное соотношение для всякой пары многочленов над любым коммутативным кольцом А.

Предложение 3. Пусть К — подполе поля L, и пусть — многочлены в имеющие общий корень в L. Тогда

Доказательство. Если , то подставляя , вместо X в выражение, полученное для находим, что

Исследуем теперь зависимость между результантом и корнями наших многочленов Нам потребуется

Лемма. Пусть — многочлен от переменных над кольцом целых чисел Z, обращающийся в 0, если подставить вместо и оставить все другие неизменными Тогда делится на

Доказательство. Упражнение для читателя.

Пусть алгебраически независимы над Z. Образуем многочлены

Таким образом, мы полагаем

Предоставляем читателю легкую проверку того, что

алгебраически независимы над

Предложение 4. В предыдущих обозначениях имеем

Доказательство. Обозначим через S выражение, стоящее в правой части равенства из формулировки предложения.

Так как однороден степени по своим первым переменным и однороден степени по вторым переменным, то

где . В силу предложения 3 результант обращается в нуль при подстановке вместо откуда по лемме вытекает, что R, рассматриваемый как элемент из , делится на — для каждой пары Следовательно, R делится в на S, поскбльку разность является, очевидно, простым элементом в этом кольце, и различные пары приводят к различным простым элементам.

Из равенства

и из того факта, что

мы получаем

Аналогично

Из (2) мы видим, что S однородно степени по (w), а из (3) — что S однородно степени по (v). Так как R обладает точно теми же свойствами однородности и делится на S, то для некоторого целого с. Так как и R, и S содержат одночлен встречающийся в них с коэффициентом 1, то и наше предложение доказано.

Отметим, что три выражения, найденные выше для S, дают нам разложение на множители результанта R. Мы получаем также обратное утверждение к предложению 3.

Следствие. Пусть — многочлены с коэффициентами в некотором , разлагающиеся на множители степени Г в К [X] и такие, что хотя бы один из старших коэффициентов Тогда в том и только в том случае, если имеют общий корень.

Доказательство. Пусть результант равен 0, и пусть для определенности . Если

— разложение на множители, то имеет место гомоморфизм

при котором для всех i, j. Тогда

откуда следует, что хотя бы один из является корнем многочлена Обратное уже было доказано.

Выведем еще одно соотношение для результанта в специальном случае. Пусть, как и выше,

В силу (2) для производной многочлена

Используя правило дифференцирования произведения, находим

где крышка над членом указывает, что этот член должен быть опущен.

Мы называем дискриминантом многочлена выражение

Предложение 5. Пусть как и выше, имеет алгебраически независимые коэффициенты над Z. Тогда

Доказательство. Подставим выражение, полученное для в произведение (4). Утверждение следует немедленно.

Если мы подставим 1 вместо то найдем, что дискриминант, как мы его определили в предыдущем параграфе, совпадает с определенным здесь. В частности, получаем явную формулу для дискриминанта. Формулы в случае многочленов степени 2 и 3 приводятся в упражнениях.