§ 3. Циклические группы

Целые числа Z образуют аддитивную группу. Найдем ее подгруппы. Пусть Н — подгруппа в Z. Если Н нетривиальна, то пусть наименьший положительный элемент. Мы утверждаем, что Н состоит из всех элементов вида , где . Чтобы доказать это, рассмотрим любой элемент Существуют целые числа , где G такие, что

Так как Н — подгруппа и то а потому , и наше утверждение доказано.

Мы будем говорить, что группа G циклическая, если существует такой элемент а в G, что всякий элемент из G может быть записан в виде где Z (другими словами, если отображение определяемое формулой ) сюръективно). При этом элемента называется образующей группы

Пусть G — группа и . Подмножество всех элементов есть, очевидно, циклическая подгруппа в G. Если — целое число, для которого то мы будем называть показателем элемента о. Будем говорить, что — показатель группы G, если для всех

Пусть G — группа и . Пусть — гомоморфизм, определенный формулой и пусть Н — ядро Возможны два случая.

(i) Ядро тривиально. Тогда — изоморфизм Z на циклическую подгруппу в G, порожденную элементом а, и эта подгруппа бесконечна. (Если а порождает G, то G — циклическая группа.) Мы говорим, что а имеет бесконечный период.

(ii) Ядро не тривиально. Пусть -наименьшее положительное целое число, лежащее в ядре. Это d называется периодом (или порядком) элемента а. Если — такое целое число, что то для некоторого целого s. Заметим, что элементы, попарно различны. Действительно, если где и, скажем, , то Так как то мы должны иметь Циклическая подгруппа, порожденная элементом а, имеет порядок d. Следовательно, справедливо

Предложение 2. Пусть G — конечная группа порядка Тогда период всякого элемента из G делит . Если порядок группы G — простое число , то G — циклическая группа и любой отличный от элемент служит образующей для

Далее имеет место

Предложение 3. Пусть G — циклическая группа. Тогда всякая ее подгруппа — циклическая. Если — гомоморфизм G, то его образ — циклическая группа.

Доказательство. Если G — бесконечная циклическая группа, то она изоморфна Z, а мы нашли все подгруппы в Z и обнаружили, что они циклические. Если G — конечная циклическая группа с образующей а и Н — некоторая ее подгруппа, то пусть — наименьшее положительное целое число, такое, что лежит в Н. Легко проверяется, что порождает Н. Наконец, если — гомоморфизм и а — образующая для G, то (а) есть, очевидно, образующая для и, следовательно, — циклическая группа.

Мы предоставляем читателю в качестве упражнений доказательства следующих утверждений о циклических группах:

(i) Бесконечная циклическая группа имеет в точности две образующие (если а — образующая, то — единственная другая образующая).

(ii) Пусть G — конечная циклическая группа порядка и образующая. Множество образующих группы G состоит из тех степеней элемента в которых показатель v взаимно прост с .

(iii) Пусть G — циклическая группа и а, b — две ее образующие. Тогда существует автоморфизм группы G, переводящий а в b. Обратно, любой автоморфизм группы G переводит а в некоторую образующую G.