§ 10. Когомологии Галуа

Пусть G-группа и А — абелева группа, которую мы в наших общих замечаниях, предшествующих теореме, будем записывать аддитивно. Предположим, что G действует на А посредством гомоморфизма . Под 1-коциклом группы G в А понимают семейство элементов , где удовлетворяющее соотношениям

для всех . Если и — 1-коциклы, то мы можем сложить их и получить -коцикл Ясно, что -коциклы образуют группу; ее обозначают символом . Семейство элементов называется -кограницей группы G в А, если существует элемент для которого при всех . Ясно, что всякая -кограница является -коциклом и что 1-кограницы образуют группу, обозначаемую . Факторгруппа называется первой группой когомологий группы G в А и обозначается символом .

Теорема 17. Пусть — конечное расширение Галуа с группой Галуа G. Тогда для действия G на К и для действия G на аддитивной группе поля К.

Другими словами, первая группа когомологий тривиальна в обоих случаях.

Доказательство. Пусть -коцикл группы G в К. Соотношение, которому должен удовлетворять коцикл, в мультипликативной записи выглядит так:

В силу линейной независимости характеров существует для которого элемент

отличен от нуля. Тогда

Мы получаем, что и использование вместо дает нам то, что нужно.

Что касается аддитивной части теоремы, то найдем элемент , для которого след не равен 0. Для заданного -коцикла в аддитивной группе поля К положим

Сразу же получаем что и требовалось.