§ 4. Свободные модули

Пусть М — модуль над кольцом А и S — подмножество в М. Мы будем говорить, что S — базис модуля М, если S не пусто, порождает М и линейно независимо. В частности, если S — базис , то при условии, что и всякий элемент из М имеет единственное представление в виде линейной комбинации элементов из S. Аналогично мы говорим, что непустое семейство элементов из М образует базис в М, если оно линейно независимо и порождает М.

Всякое кольцо, рассматриваемое как модуль над собой, обладает базисом, состоящим из единичного элемента 1.

Пусть — непустое множество, и для каждого пусть причем все рассматриваются как Л-модули. Положим

Модуль F обладает базисом, состоящим из элементов в F, i-й компонентой которых является единичный элемент из , а все другие компоненты равны 0.

Под свободным модулем мы будем понимать модуль, обладающий базисом, или же нулевой модуль.

Теорема 1. Пусть А — кольцо и М — модуль над А с базисом , где — непустое множество. Пусть, далее, N есть A-модуль и — семейство элементов в N. Тогда существует единственный гомоморфизм такой, что для всех

Доказательство. Пусть — некоторый элемент из Существует единственное семейство элементов из А, для которого

Положим

Ясно, что — гомоморфизм, удовлетворяющий нашим требованиям, и что это единственный такой гомоморфизм, так как мы должны иметь

Следствие 1. В обозначениях теоремы предположим, что — базис в N. Тогда гомоморфизм является изоморфизмом (модулей).

Доказательство. В силу симметрии существует единственный гомоморфизм

такой, что для всех i и являются соответствующими тождественными отображениями.

Следствие 2. Два модуля, имеющие базисы одинаковой мощности, изоморфны.

Доказательство. Очевидно.

Доказательства следующих утверждений предоставляем читателю в качестве упражнений.

Пусть — свободный модуль над А с базисом так что

Пусть а — левый идеал в А. Тогда будет подмодулем в М. Далее, — подмодуль в для каждого i. Имеет место изоморфизм (А-модулей)

Кроме того, изоморфны как А-модули.

Предположим дополнительно, что А коммутативно. Тогда — кольцо. Кроме того, есть свободный модуль над и каждый фактормодуль свободен над Если — образ при каноническом гомоморфизме

то служит базисом (состоящим из одного элемента) для над