§ 3. Разложение над одним эндоморфизмом

Пусть - поле и Е — конечномерное векторное пространство над Пусть линейное отображение Е в себя, — трансцендентный элемент над k. Определим некоторое представление кольца многочленов в Е. А именно: имеет место гомоморфизм

который получается подстановкой А вместо t в многочлены. Кольцо является подкольцом в порожденным А, и притом коммутативным, так как степени А коммутируют друг с другом. Таким образом, если -многочлен и , то

Ядро гомоморфизма есть главный идеал в который поскольку конечномерно над k. Он порождается однозначно определенным многочленом степени со старшим коэффициентом 1. Этот многочлен будет называться минимальным многочленом эндоморфизма А над k и будет обозначаться через Разумеется, он не обязательно неприводим.

Предположим, что существует элемент такой, что Это означает, что Е порождается над полем k элементами

Мы назвали такие модули главными. Можно записать , где

Если , то элементы

образуют базис для E над k. Это доказывается точно так же, как и аналогичное утверждение для конечных расширений полей. Во-первых, отметим, что они линейно независимы, так как любое соотношение линейной зависимости над k давало бы многочлен меньшей степени, чем и такой, что . Во-вторых, они порождают Е, так как любой многочлен может быть записан в виде , где . Следовательно, .

Ясно, что относительно этого базиса матрица эндоморфизма А имеет следующий вид:

Если модуль Е главный, то Е изоморфен фактормодулю относительно отображения . Многочлен однозначно определен эндоморфизмом А и не зависит от выбора образующей v модуля Е. Это по существу очевидно, так как если - два многочлена со старшим коэффициентом 1, то модуль тогда и только тогда изоморфен когда

Если модуль Е главный, то мы будем называть полиномиальным инвариантом Е относительно А, или просто инвариантом.

Теорема 6. Пусть Е — ненулевое конечномерное пространство над полем k, и пусть Тогда Е обладает разложением в прямую сумму

где каждое слагаемое является главным k - под модулем с инвариантом причем

Последовательность однозначно определяется пространством Е и эндоморфизмом А, и есть минимальный многочлен для А.

Доказательство. Первое утверждение есть просто перефразировка на другом языке структурной теоремы для модулей над кольцами главных идеалов. Далее, ясно, что так как для всякого i. Никакой многочлен меньшей степени, чем не может аннулировать Е, поскольку, в частности, такой многочлен не аннулирует ЕГ. Таким образом, -минимальный многочлен.

Мы будем называть инвариантами пары . Пусть и пусть А — матрица размера , которую мы можем рассматривать как линейное отображение Е в себя. Инварианты этого линейного отображения будут называться инвариантами матрицы А (над ).

Следствие 1. Пусть k — расширение поля k и А — матрица размера над k. Инварианты матрицы А над k те же самые, что и ее инварианты над

Доказательство. Пусть - базис над k. Тогда мы можем рассматривать его также как базис над k. (Единичные векторы лежат в пространстве, порожденном элементами следовательно, порождают -мерное пространство над Пусть (соответственно ) — линейное отображение пространства Е (соответственно определенное матрицей А. Матрица отображения относительно нашего заданного базиса совпадает с матрицей отображения

Мы можем выбрать базис, который соответствует разложению

определенному инвариантами . Отсюда вытекает, что инварианты не изменятся, когда мы поднимем этот базис до базиса

Следствие 2. Пусть А, В — матрицы размера над полем k и k'-расширение k. Предположим, что существует обратимая матрица С над k, такая, что Тогда существует обратимая матрица С над k, такая, что

Доказательство. Упражнение.

Структурная теорема для модулей над кольцами главных идеалов дает нам два типа разложений. Один — в соответствии с инвариантами, как в предыдущей теореме. Другой - в соответствии со степенями простых элементов.

Пусть - конечномерное векторное пространство над полем k и А: — эндоморфизм из Пусть его минимальный многочлен. Тогда q имеет разложение

в произведение степеней (различных) простых элементов. Следовательно, Е есть прямая сумма подмодулей

где каждый аннулируется многочленом Кроме того, каждый такой подмодуль может быть представлен в виде прямой суммы подмодулей, изоморфных для некоторого неприводимого многочлена и некоторого целого числа Теорема 7. Пусть для некоторого Предположим, что Е изоморфно Тогда Е имеет <базис над k, такой, что относительно этого базиса матрица эндоморфизма А имеет вид

Доказательство. Так как Е изоморфно то существует элемент такой, что Этот элемент соответствует единичному элементу кольца к при изоморфизме

Мы утверждаем, что элементы

или, что эквивалентно,

образуют базис для Е над к. Они линейно независимы над к, так как любое соотношение линейной зависимости давало бы соотношение линейной зависимости между

и, следовательно, давало бы многочлен степени, меньшей, чем такой, что Так как то отсюда следует, что наши элементы образуют базис для Е над k. Но Ясно, что матрица эндоморфизма А относительно этого базиса имеет форму, указанную в нашей теореме.

Следствие. Пусть k — алгебраически замкнутое поле, Е — конечномерное ненулевое векторное пространство над Тогда существует базис пространства Е над k, такой, что матрица эндоморфизма А относительно этого базиса состоит из блоков, каждый из которых имеет вид, описанный в теореме.

О матрице, имеющей форму, описанную в предыдущем следствии, говорят, что она имеет жорданову каноническую форму.

Замечание. Матрица (или эндоморфизм) N называется нильпотентной, если существует целое число такое, что Мы видим, что в теореме 7 или ее следствии матрица М записывается в виде

где матрица N нильпотентна. Действительно, N есть треугольная матрица (т. е. она имеет нулевые коэффициенты на и над диагональю) и В — диагональная матрица, диагональные элементы которой являются корнями минимального многочлена. Такое разложение может быть получено всякий раз, когда поле k таково, что все корни минимального многочлена лежат в k. Отметим также, что единственным случаем, когда матрица N будет нулевой, будет тот, когда все корни минимального многочлена имеют кратность 1. В этом случае матрица М является диагональной матрицей с различными элементами диагонали, где