Главная > Алгебра
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Двойственность

Пусть R — коммутативное кольцо и Е, F — модули над R. Тогда -билинейная форма на — это отображение

обладающее следующими свойствами: для всякого отображение

R - линейно, и для всякого отображение

В остальной части этого параграфа мы будем опускать приставку R и будем писать или вместо . Для пишем если . Аналогично, в случае, когда S — подмножество в F, пишем если х, у для всех . В этом случае мы говорим, что элемент перпендикулярен к S. Пусть состоит из всех элементов в Е, перпендикулярных к S. Это, очевидно, подмодуль в Е. Аналогичным образом определяется перпендикулярность с другой стороны. Мы считаем по определению ядром слева и ядром справа Е. Мы будем говорить, что форма невырождена слева (справа), если ее ядро слева (соответственно справа) равно 0. Пусть — ядро слева; имеем индуцированное билинейное отображение

которое, как тривиально вытекает из определений, невырождено слева. Аналогично, если ядро справа, то имеем индуцированное билинейное отображение

которое невырождено с обеих сторон. Это отображение определено, поскольку значение зависит только от смежного класса по модулю и смежного класса у по модулю

Мы будем обозначать через множество всех билинейных отображений в R. Ясно, что это множество является модулем (т. е. -модулем) с обычными сложением отображений и умножением отображений на элементы из

Форма порождает гомоморфизм

такой, что

для всех . Мы будем называть Нош дуальным модулем модуля F и обозначать его через F. Имеем изоморфизм

задаваемый отображением , обратное к которому определяется очевидным образом: если - гомоморфизм, то определяем по формуле

Мы будем называть форму неособой слева, если —изоморфизм, другими словами, если наша форма может быть использована для отождествления Е с модулем, дуальным к F.

Форма, неособая справа, определяется аналогичным образом, и мы будем говорить, что форма неособая, если она неособая слева и справа.

Предостережение: невырожденная форма не обязательно должна быть неособой.

Получим теперь изоморфизм

зависящий от. фиксированного неособого билинейного отображения .

Пусть — линейное отображение Е в себя. Тогда отображение

билинейно, и этим путем всякому мы сопоставляем линейным образом некоторую билинейную форму из

Обратно, пусть отображение билинейно. При заданном отображение для которого , линейно и лежит в дуальном модуле F. По предположению существует единственный элемент , такой, что для всех

Очевидно, что сопоставление является линейным отображением Е в себя. Таким образом, всякому билинейному отображению мы сопоставили линейное отображение

Непосредственно видно, что отображения, описанные в последних двух абзацах, являются взаимно обратными изоморфизмами между . Подчеркнем еще раз, что они зависят от нашей формы

Разумеется, мы могли бы все то же самое проделать справа и получить аналогичный изоморфизл

также зависящий от нашей фиксированной неособой формы

В качестве приложения рассмотрим линейное отображение А: . Пусть — соответствующее ему билинейное отображение. Тогда существует однозначно определенное линейное отображение

такое, что

для всех

Мы будем называть отображением, сопряженным к А относительно

Непосредственно ясно, что если А, В — линейные отображения Е в себя, то для имеем

Предположим, что Пусть отображение билинейно. Под автоморфизмом пары или просто под автоморфизмом формы мы будем понимать линейный автоморфизм А: такой, что

для всех Группа автоморфизмов формы обозначается через

Предложение 11. Пусть — неособая билинейная форма, — линейное отображение. Тогда А является автоморфизмом в том и только в том случае, если и А обратимо.

Доказательство. Из равенства

выполняющегося для всех заключаем, что если А — автоморфизм формы Обратное столь же очевидно.

Замечание. Если модуль Е свободен и конечномерен, то условие влечет обратимость А.

Пусть билинейная форма. Мы будем говорить, что — симметрическая, если для всех . Множество симметрических билинейных форм на Е будет обозначаться символом Возьмем фиксированную симметрическую неособую билинейную форму на Е, записав ее в виде . Эндоморфизм называется симметрическим относительно если . Ясно, что множество симметрических эндоморфизмов модуля Е является модулем, который мы будем обозначать через . Имеем изоморфизм, зависящий от нашей фиксированной симметрической неособой формы

Этот изоморфизм описывается следующим образом. Если g — симметрическая билинейная форма на Е, то существует однозначно определенное линейное отображение А, такое, что

для всех Используя тот факт, что обе формы симметрические, получаем

Следовательно, Сопоставление дает гомоморфизм . Обратно, для заданного симметрического эндоморфизма А модуля Е мы можем определить симметрическую форму правилом , и сопоставление этой формы эндоморфизму А, очевидно, дает гомоморфизм , обратный к предыдущему гомоморфизму. Следовательно, изоморфны.

Напомним, что билинейная форма называется знакопеременной, если для всех и, следовательно, для всех . Множество билинейных знакопеременных форм на Е является модулем, обозначаемым символом

Пусть — фиксированная симметрическая неособая билинейная форма на Е. Эндоморфизм будет называться кососимметрическим или знакопеременным относительно если и, кроме того, для всех . Если для всякого соотношение возможно лишь при то второе условие излишне, так как влечет Ясно, что множество знакопеременных эндоморфизмов модуля Е образует модуль, обозначаемый через Имеет место изоморфизм, зависящий от нашей фиксированной симметрической неособой формы

Этот изоморфизм описывается следующим образом. Если - знакопеременная билинейная форма на Е, то соответствующее ей линейное отображение А — это такое отображение, для которого

при всех Аналогично симметрическому случаю тривиально проверяется, что соответствие дает нам искомый изоморфизм.

Примеры. Пусть k — поле, Е — конечномерное векторное пространство над k и - билинейное отображение, записываемое в виде

Каждому сопоставим линейное отображение , для которого

Тогда отображение, получаемое взятием следа, а именно

есть билинейная форма на Е. Если то эта билинейная форма симметрическая.

Далее, пусть Е — пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], K(s,t) — непрерывная функция от двух вещественных переменных, определенная на квадрате Для положим

где двойной интеграл берется по квадрату. Получаем билинейную форму на Е. Если то эта билинейная форма симметрическая. Когда мы в следующем параграфе будем рассматривать матрицы и билинейные формы, читатель увидит аналогию между предыдущей формулой и билинейной формой, определяемой матрицей.

Наконец, пусть U — открытое подмножество вещественного банахова пространства Е (или конечномерного евклидова пространства, если читатель на этом настаивает), и пусть — дважды непрерывно дифференцируемое отображение. Для всякого производная есть непрерывное линейное отображение, а вторая производная может рассматриваться как непрерывное симметрическое билинейное отображение в

1
Оглавление
email@scask.ru