§ 10. Пфаффиан
У знакопеременной матрицы 
по определению 
и диагональные элементы равны 0. Как мы видели в гл. XIII, § 6, это матрица знакопеременной формы Пусть 
- матрица размера 
, где 
— четное. (Для нечетного 
см. упражнения)
Мы начнем с поля характеристики ОВ силу теоремы 6 существует неособая матрица С, для которой 
будет матрицей
и, следовательно,
в соответствии с тем, тривиально ядро знакопеременной формы или нет Таким образом, мы видим, что в любом случае 
является квадратом в поле
Перейдем теперь к кольцу целых чисел Z. Пусть 
алгебраически независимых элементов над Q. Положим 
для 
для 
Тогда матрица 
(
- знакопеременная и, следовательно, 
есть квадрат в поле 
полученном из Q присоединением всех переменных 
Однако 
является многочленом из 
и в силу однозначности разложения на множители в 
— квадрат некоторого многочлена из 
Запишем
Многочлен Р однозначно определен с точностью до множителя ±1. Если мы подставим такие значения для 
чтобы матрица Т приняла специальный вид
то получим, что существует однозначно определенный многочлен Р с целочисленными коэффициентами, принимающий значение 1 для этого специализированного множества значений (t). Мы будем называть Р общим пфаффианом размера 
и обозначать его через 
Пусть R — коммутативное кольцо. Имеем гомоморфизм
индуцированный однозначно определенным гомоморфизмом Z в R. Образ общего пфаффиана размера 
в 
будет многочленом с коэффициентами в R, который мы по-прежнему обозначаем через 
. Если G — знакопеременная матрица с коэффициентами в R, то обозначим через 
значение 
полученное после подстановки вместо 
Так как определитель коммутирует с гомоморфизмами, то имеет место
Теорема 7. Пусть R — коммутативное кольцо и 
знакопеременная матрица 
Тогда
Кроме того, для всякой матрицы С размера 
над 
Доказательство. Первое утверждение уже было доказано выше. Второе достаточно доказать над Z. Пусть элементы 
алгебраически независимы над Q, причем 
алгебраически независимы над Q. Пусть U — матрица Тогда
что получается немедленно взятием квадратов от обеих частей. Подставим значения в U и Г, такие, что U становится единичной матрицей, а Т — стандартной знакопеременной матрицей, Заключаем, что с правой стороны должен быть знак Тем самым, как обычно, наше утверждение справедливо для любых подстановок вместо U матрицы над R и вместо Т знакопеременной матрицы над R, что и требовалось показать.
