Глава IV. Гомологии

§ 1. Комплексы

Пусть А — кольцо. Под открытым комплексом А-модулей понимают последовательность модулей и гомоморфизмов

где I пробегает все целые числа и отображает в , причем

для всех I.

Часто рассматривают конечные последовательности гомоморфизмов, скажем

в которых композиция двух последовательных гомоморфизмов равна 0; такую последовательность можно превратить в комплекс, добавив нули на каждом конце

Замкнутый комплекс А-модулей — это последовательность модулей и гомоморфизмов , где I пробегает множество целых чисел по модулю для некоторого удовлетворяющая тому же свойству, что и выше, для композиций последовательных гомоморфизмов. Таким образом, замкнутый комплекс выглядит так:

Мы называем длиной замкнутого комплекса.

Можно, не опасаясь путаницы, опускать индекс и писать просто d. Мы будем также обозначать комплекс через и даже, еще короче, просто через Е.

Пусть — два комплекса (оба открытые или оба замкнутые), — целое число. Морфизм (комплексов)

степени — это последовательность гомоморфизмов

таких, что для всякого I коммутативна следующая диаграмма:

Точно так же как мы пишем d вместо мы будем писать вместо Если комплексы замкнуты, то мы определяем морфизм одного в другой только в том случае, если они имеют одинаковую длину.

Ясно, что комплексы образуют категорию.

Будет полезно ввести еще одно понятие, относящееся к объектам, занумерованным посредством моноида. Пусть G—моноид, который мы предположим коммутативным и аддитивным, имея в виду дальнейшие приложения. Пусть — семейство модулей, занумерованных посредством G. Прямая сумма

будет называться - градуированным модулем, ассоциированным с семейством . Пусть — два семейства, занумерованные посредством G, и М, М — ассоциированные с ними - градуированные модули. Пусть . Под -градуированным морфизмом — степени мы будем понимать гомоморфизм отображающий для всякого (при этом отождествляется с соответствующим подмодулем прямой суммы). Таким образом, есть не что иное, как семейство гомоморфизмов

Если — комплекс, то мы можем рассматривать Е как -градуированный модуль (взяв прямую сумму членов этого комплекса), a d — как - градуированный морфизм степени 1, полагая G равным Z или

Обратно, если G есть Z или то мы можем рассматривать - градуированный модуль как комплекс, считая по определению d нулевым отображением.

Для простоты мы будем часто опускать эпитет «G-градуированный» перед словом „морфизм", когда речь будет идти о - градуированных морфизмах.