§ 2. Теорема Гильберта о нулях

Теорема о нулях является специальным случаем теоремы о продолжении гомоморфизмов, относящимся к конечно порожденным кольцам над полями.

Теорема 2. Пусть k — поле, — конечно порожденное кольцо над — вложение k в некоторое алгебраически замкнутое поле L. Тогда существует продолжение до гомоморфизма

Доказательство. Пусть — некоторый максимальный идеал в — канонический гомоморфизм Тогда поле, являющееся расширением поля Если мы сможем доказать нашу теорему для случая, когда конечно порожденное кольцо является в действительности полем, то мы рассмотрим тогда ограничение на и продолжим его до гомоморфизма в L, что и даст нам искомое продолжение для

Не теряя поэтому общности, мы предполагаем, что — поле. Если оно алгебраично над k, то все доказано (в силу известного результата для алгебраических расширений). В противном случае пусть -некоторый базис трансцендентности, Не теряя общности, мы можем считать, что тождественно на k. Каждый элемент алгебраичен над Умножив неприводимый многочлен на подходящий ненулевой элемент из мы получим многочлен, все коэффициенты которого лежат в Пусть множество старших коэффициентов этих многочленов и — их произведение

Так как то существуют такие элементы и, следовательно, ни для какого

Каждый элемент является целым над кольцом

Рассмотрим гомоморфизм

который тождествен на k и для которого Пусть ядро. Тогда . Наш гомоморфизм однозначно продолжается на локальное кольцо а в силу предыдущих замечаний он продолжается до гомоморфизма

в k, согласно предложению 16 из гл. IX, § 2. Это доказывает требуемое утверждение.

Следствие 1. Пусть k — поле и — конечно порожденное кольцо над k. Если - поле, то алгебраично над

Доказательство. Все гомоморфизмы поля являются изоморфизмами (на образ), и существует гомоморфизм над k в алгебраическое замыкание поля

Следствие 2. Пусть - конечно порожденное целостное кольцо над полем k, и пусть — ненулевые элементы этого кольца. Тогда существует такой гомоморфизм

над k, что «и для одного

Доказательство. Рассмотрим кольцо и применим к нему теорему.

Пусть S — некоторое множество многочленов в кольце многочленов от переменных, L — некоторое расширение поля k. Под нулем множества S в L понимают любой набор из элементов лежащих в L, такой, что

для всех . Если S состоит из одного многочлена , то мы будем также говорить, что есть нуль . Множество всех нулей семейства S называется алгебраическим множеством в L (или, точнее, в ). Пусть а — идеал, порожденный всеми элементами из S. Поскольку ясно, что всякий нуль а служит также нулем S. Однако, очевидно, справедливо и обратное, а именно всякий нуль S является также нулем а, поскольку всякий элемент из а имеет вид

где

Таким образом, рассматривая нули какого-либо множества S, мы всегда можем считать их нулями некоторого идеала. Отметим кстати, что любое алгебраическое множество будет множеством нулей некоторого конечного числа многочленов, так как всякий идеал в конечно порожден (гл. VI). Еще одним следствием теоремы 2 является

Теорема Гильберта о нулях. Пусть а — идеал в и пусть всякий его нуль будет также нулем многочлена . Тогда существует целое число для которого

Доказательство. Если а само кольцо многочленов, то наше утверждение очевидно. Пусть Предположим, что никакая степень многочлена не лежит в Обозначим через S мультипликативное множество всех степеней и через — максимальный элемент в множестве идеалов, содержащих а, пересечение которых с S пусто. Тогда — простой идеал, согласно предложению 6 из гл. VI, § 4. Имеет место изоморфизм

и так как , то . Пусть

— гомоморфизм над k, для которого . Тогда , где . Это противоречит предположению, что обращается в нуль на всех алгебраических нулях идеала а.