Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Часть первая. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И МОДУЛИВ этой части вводятся основные понятия алгебры, и главная трудность для начинающего заключается в овладении разумным словарным запасом за короткое время. Ни одно из новых понятий само по себе не является трудным, но их последовательное накопление может иногда показаться тяжким. Чтобы понимать последующие части книги, читатель по существу должен знать только основные определения этой первой части. Разумеется, та или иная теорема может в дальнейшем использоваться в отдельных местах, но в целом мы стремились избегать длинных цепочек логических зависимостей. Глава I. Группы§ 1. МоноидыПусть S — множество. Отображение
называется иногда законом композиции (на S в себя). Если х и у — элементы из S, то образ пары Пусть S — множество, наделенное законом композиции. Произведение элементов х, у, z из S можно составить двумя способами: Элемент
В большинстве случаев единичный элемент обозначают просто 1 (вместо Моноид — это множество G с ассоциативным законом композиции, обладающим единичным элементом (так что, в частности, G не пусто). Пусть G — моноид и
Справедливо следующее правило
утверждающее по существу, что мы можем любым способом расставлять скобки в нашем произведении, не изменяя его значения. Доказательство легко получается индукцией, и мы предоставляем его читателю в качестве упражнения. Вместо Удобно считать, что пустое произведение равно единичному элементу. Таким образом, по определению Можно было бы определить более общие законы композиции, т. е. отображения
где два исходных множества одинаковы. Коммутативность тогда означает, что Если закон композиции, определенный на G, коммутативен, то мы также будем говорить, что сам моноид G коммутативен (или абелев). Пусть G — коммутативный моноид и
Мы докажем это утверждение по индукции. Для
Определим отображение
Тогда
что по индукции равно Пусть G — коммутативный моноид,
мы будем понимать произведение
взятое в любом порядке (его значение не зависит от порядка по предыдущему замечанию). Разумеется, пустое произведение равно е. Когда G записывается аддитивно, то вместо знака произведения мы пишем знак суммы Имеется ряд формальных правил обращения с произведениями, которые было бы скучно полностью перечислять. Приведем только один пример. Пусть I, J - два множества и
Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения. Мы будем иногда писать Пусть
так что, в частности, Формальное доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения. Пусть Подмоноидом моноида G называется подмножество Н в G, содержащее единичный элемент Для всякого элемента Пример моноида. Мы предполагаем, что читатель знаком с терминологией элементарной топологии. Пусть М — множество классов гомеоморфных друг другу компактных (связных) поверхностей. Определим сложение в М. Пусть
где (Предыдущий пример включен по двум причинам: во-первых, чтобы скрасить неизбежную скуку этого параграфа; во-вторых, чтобы показать читателю, что моноиды существуют в природе. Нет нужды говорить, что этот пример никоим образом не будет использоваться в остальной части книги.)
|
1 |
Оглавление
|