Часть первая. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И МОДУЛИ

В этой части вводятся основные понятия алгебры, и главная трудность для начинающего заключается в овладении разумным словарным запасом за короткое время. Ни одно из новых понятий само по себе не является трудным, но их последовательное накопление может иногда показаться тяжким.

Чтобы понимать последующие части книги, читатель по существу должен знать только основные определения этой первой части. Разумеется, та или иная теорема может в дальнейшем использоваться в отдельных местах, но в целом мы стремились избегать длинных цепочек логических зависимостей.

Глава I. Группы

§ 1. Моноиды

Пусть S — множество. Отображение

называется иногда законом композиции (на S в себя). Если х и у — элементы из S, то образ пары при этом отображении называется также их произведением относительно закона композиции и будет обозначаться через (Иногда мы пишем также , а во многих случаях удобно использовать и аддитивное обозначение и писать, таким образом, . В этом случае мы называем элемент у суммой х и у. Обычно обозначение используют только в том случае, когда выполняется соотношение )

Пусть S — множество, наделенное законом композиции. Произведение элементов х, у, z из S можно составить двумя способами: . Если для всех х, у, z из S, то мы говорим, что закон композиции ассоциативен.

Элемент из S, такой, что для всех называется единичным элементом. (Когда закон композиции записывается аддитивно, единичный элемент обозначается через 0 и называется нулевым элементом.) Единичный элемент единствен, поскольку если — другой единичный элемент, то по предположению имеем

В большинстве случаев единичный элемент обозначают просто 1 (вместо ). В большей части этой главы, однако, мы будем писать , чтобы избежать путаницы при доказательствах основных свойств.

Моноид — это множество G с ассоциативным законом композиции, обладающим единичным элементом (так что, в частности, G не пусто).

Пусть G — моноид и — элементы из G (где — целое число Мы определим их произведение по индукции

Справедливо следующее правило

утверждающее по существу, что мы можем любым способом расставлять скобки в нашем произведении, не изменяя его значения. Доказательство легко получается индукцией, и мы предоставляем его читателю в качестве упражнения.

Вместо пишут также

Удобно считать, что пустое произведение равно единичному элементу. Таким образом, по определению

Можно было бы определить более общие законы композиции, т. е. отображения с произвольными множествами; можно, далее, определить ассоциативность и коммутативность в любой ситуации, для которой это имеет смысл. Например, для коммутативности нужен закон композиции

где два исходных множества одинаковы. Коммутативность тогда означает, что Или если опустить в обозначениях Что касается ассоциативности, то мы предоставляем читателю найти наиболее общую комбинацию множеств, при которой она работает. Ниже нам встретятся специальные случаи, связанные, например, с отображениями Здесь произведение имеет смысл при Произведение также имеет смысл для таких элементов х, у, z, и, следовательно, имеет смысл говорить об ассоциативности нашего закона композиции, коль скоро для всех указанных выше элементов х, у, z выполнено равенство

Если закон композиции, определенный на G, коммутативен, то мы также будем говорить, что сам моноид G коммутативен (или абелев).

Пусть G — коммутативный моноид и — элементы из G. Пусть биективное отображение множества целых чисел на себя. Тогда

Мы докажем это утверждение по индукции. Для оно очевидно. Предположим, что оно верно для Пусть k — такое целое число, что Тогда

Определим отображение множества в себя формулами

Тогда

что по индукции равно как и требовалось.

Пусть G — коммутативный моноид, — некоторое множество, и пусть — такое отображение, что для почти всех (Здесь и ниже почта все означает все, кроме конечного числа.) Пусть -подмножество в I, состоящее из тех i, для которых Под

мы будем понимать произведение

взятое в любом порядке (его значение не зависит от порядка по предыдущему замечанию). Разумеется, пустое произведение равно е.

Когда G записывается аддитивно, то вместо знака произведения мы пишем знак суммы .

Имеется ряд формальных правил обращения с произведениями, которые было бы скучно полностью перечислять. Приведем только один пример. Пусть I, J - два множества и — отображение в коммутативный моноид, принимающее значение для почти всех пар Тогда

Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.

Мы будем иногда писать , опуская если ясно, о каком множестве индексов идет речь.

Пусть — элемент моноида G. Для всякого целого мы определим как

так что, в частности, Очевидно, Кроме того, в силу ассоциативности для любых двух элементов моноида G, таких, что имеем

Формальное доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.

Пусть - два подмножества моноида G. Мы понимаем под подмножество, состоящее из всех элементов вида где и . По индукции можно определить произведение любого конечного числа подмножеств, причем имеет место ассоциативность. Например, если - подмножества в G, то Заметим, что (потому что в G имеется единичный элемент). Для мы определим как где — множество, состоящее из одного элемента Таким образом, множество состоит из всех элементов вида где

Подмоноидом моноида G называется подмножество Н в G, содержащее единичный элемент и такое, что если у (мы говорим, что И замкнуто относительно закона композиции). Ясно, что подмоноид Н сам является моноидом относительно закона композиции, индуцированного законом композиции на

Для всякого элемента моноида G подмножество степеней есть подмоноид в G.

Пример моноида. Мы предполагаем, что читатель знаком с терминологией элементарной топологии. Пусть М — множество классов гомеоморфных друг другу компактных (связных) поверхностей. Определим сложение в М. Пусть - компактные поверхности, D — маленький диск в S и D — маленький диск в S. Пусть далее С, С — окружности, образующие границы D и D, a DQ, DQ — внутренности дисков D и D соответственно. Приклеим отождествив С с С, Можно показать, что получающаяся поверхность, не зависит с точностью до гомеоморфизма от произвола в выборе, имеющегося в предыдущем построении. Если а, а обозначают классы поверхностей, гомеоморфных поверхностям соответственно, то мы берем в качестве класс поверхности, полученной указанным процессом склеивания. Можно показать, что так определенное сложение определяет на М структуру моноида, нулевым элементом которого будет класс обычной двумерной сферы. Кроме того, если обозначает класс тора, а класс проективной плоскости, то всякий элемент о из М имеет единственное представление в виде

где — целое число , а или 2. Справедливо равенство

(Предыдущий пример включен по двум причинам: во-первых, чтобы скрасить неизбежную скуку этого параграфа; во-вторых, чтобы показать читателю, что моноиды существуют в природе. Нет нужды говорить, что этот пример никоим образом не будет использоваться в остальной части книги.)