§ 4. Нормальные подгруппы

Мы уже отмечали, что ядра гомоморфизмов групп являются подгруппами. Теперь мы хотим охарактеризовать такие подгруппы.

Пусть — гомоморфизм групп и Н — его ядро. Для всякого элемента из G выполняется равенство что проверяется непосредственно исходя из определений. Мы можем также переписать это соотношение в виде

Обратно, пусть G — группа и Н — ее подгруппа. Предположим, что для всех элементов из G имеем (или, что эквивалентно, ). Если мы возьмем вместо то получим откуда Таким образом, наше условие эквивалентно условию для всех Подгруппа Н, удовлетворяющая этому условию, называется нормальной (или инвариантной подгруппой. Мы сейчас увидим, что всякая нормальная подгруппа служит ядром некоторого гомоморфизма.

Пусть -множество смежных классов по Н (по предположению левые смежные классы совпадают с правыми смежными классами, так что нет нужды делать различие между ними). Если — смежные классы, то их произведение также будет смежным классом, поскольку

Это произведение определяет в G ассоциативный закон композиции. Ясно, что сама подгруппа Н как смежный класс служит единичным элементом для этого закона композиции и что служит обратным для смежного класса Следовательно, G — группа.

Пусть — отображение, для которого есть смежный класс Тогда, очевидно, — гомоморфизм и подгруппа Н содержится в его ядре. Если то и, значит, так как Н содержит единичный элемент. Таким образом, Н совпадает с ядром, и мы получили интересовавший нас гомоморфизм.

Группа смежных классов по нормальной подгруппе Я обозначается символом (читается G по модулю Я или G по Н). Отображение группы G на построенное выше, называется каноническим отображением, а называется факторгруппой группы G по .

Замечания

(1) Пусть — семейство нормальных подгрупп группы G. Тогда подгруппа

также будет нормальной. Действительно, если то лежит в каждой подгруппе а потому и в

(2) Пусть S — подмножество в G, и пусть — множество всех таких элементов что Тогда N, очевидно, — подгруппа в G; она называется нормализатором подмножества S. Если состоит из одного элемента а, то N называют также централизатором элемента а. Более общо, пусть — множество всех таких элементов что для любого Тогда называется централизатором подмножества S, Централизатор самой группы G называется ее центром. Это подгруппа в G, состоящая из всех ее элементов, коммутирующих со всеми другими элементами, и, очевидно, инвариантная в G.

Пусть Н — подгруппа в G. Тогда она, очевидно, является инвариантной подгруппой своего нормализатора Следующие утверждения мы предоставляем читателю в качестве упражнений:

Если К — подгруппа в G и — нормальная подгруппа в К, то — группа и — нормальная подгруппа в КН.

Нормализатор подгруппы Н — наибольшая подгруппа группы G, для которой Н является нормальной подгруппой.

Пусть G — группа, Н — ее нормальная подгруппа, Мы будем писать

если и у лежат в одном и том же смежном классе по Н, или, что равносильно, если лежит в Н. Читается это соотношение так: х и у сравнимы по модулю

Если - аддитивная группа, то

означает, что лежит в Н, а

означает, что (или ) лежит в Н.

Знак сравнения используется главным образом для аддитивных групп.

Пусть

— последовательность гомоморфизмов. Мы будем говорить, что эта последовательность точная, если Например, если Н — нормальная подгруппа в G, то последовательность

точная (здесь j — вложение и — каноническое отображение). Последовательность гомоморфизмов с большим числом членов, например

называется точной, если она точна в каждом члене, т. е. если

для всех Например, точность последовательности

означает, что инъективно, что и что g сюръективно. Эта последовательность по существу не что иное, как точная последовательность

где

Далее мы опишем некоторые гомоморфизмы, которые все называются каноническими.

(i) Пусть — группы и — гомоморфизм, ядром которого служит Н. Пусть - каноническое отображение. Тогда существует единственный гомоморфизм инъективный и такой, что

Чтобы определить , рассмотрим — смежный класс по . Так как для всех положим равным Это значение не зависит от выбора представителя в смежном классе, и тривиально проверяется, что отображение гомоморфно, инъективно и является единственным гомоморфизмом, удовлетворяющим нашим требованиям. Мы будем говорить, что гомоморфизм индуцирован гомоморфизмом гомоморфизм индуцирует изоморфизм

факторгруппы на образ и, таким образом, отображение может быть разложено в следующую последовательность гомоморфизмов:

Здесь j — вложение

Пусть -группа, Н — ее подгруппа и N — пересечение всех нормальных подгрупп, содержащих Н. Тогда -нормальная подгруппа и, следовательно, наименьшая нормальная подгруппа, содержащая Н. Пусть гомоморфизм, ядро которого содержит Н. Тогда ядро содержит N и существует единственный гомоморфизм (о нем говорят, что он индуцирован гомоморфизмом ), для которого коммутативна следующая диаграмма:

Как и выше, — каноническое отображение.

Можно определить , как и в (i), положив

Gтображение правильно определено; тривиально проверяется, что оно удовлетворяет всем нашим требованиям.

(iii) Пусть G — группа и — две ее нормальные подгруппы. Тогда К — нормальная подгруппа в Н и можно определить отображение сопоставив каждому смежному классу смежный класс Немедленно проверяется, что это отображение является гомоморфизмом и что его ядро состоит из всех смежных классов вида где Таким образом, имеем канонический изоморфизм

Можно было бы также описать этот изоморфизм, используя (i) и (ii). Мы предоставляем читателю показать, что имеет место коммутативная диаграмма

в которой строки точны.

(iv) Пусть G — группа и Н, К — две ее подгруппы. Предположим, что Н содержится в нормализаторе подгруппы К. Тогда очевидно, что — нормальная подгруппа в Н, и столь же очевидно, что есть подгруппа в G.

Имеется сюръективный гомоморфизм

сопоставляющий каждому смежный класс группы НК по К. Читатель тотчас проверит, что ядром этого гомоморфизма служит как раз Таким образом, имеет место канонический изоморфизм

Пусть — гомоморфизм групп, Н — нормальная подгруппа в G и .

Тогда Н — нормальная подгруппа в G. [Доказательство: если то содержится в Н, так что ]. Компонируя с каноническим отображением G на , получаем гомоморфизм

ядром которого служит Н. Следовательно, существует инъективный гомоморфизм

называемый снова каноническим и приводящий к коммутативной диаграмме

Если гомоморфизм сюръективен, то есть изоморфизм.

Укажем теперь некоторые приложения наших утверждений о гомоморфизмах.

Пусть G — группа. Последовательность подгрупп

называется башней подгрупп. Башня называется нормальной, если каждая нормальна в Башня называется абелевой (соответственно циклической), если она нормальна и если каждая факторгруппа абелева (соответственно циклическая).

Пусть — гомоморфизм, и пусть

— нормальная башня в G. Положим . Тогда образуют нормальную башню. Если G - образуют абелеву башню (соответственно циклическую башню), то и образуют абелеву (соответственно циклическую) башню, поскольку для каждого I имеется инъективный гомоморфизм

и поскольку подгруппа абелевой группы (соответственно циклической группы) абелева (соответственно циклическая).

Уплотнением башни

называется башня, которая может быть получена вставлением конечного числа подгрупп в данную башню. Группа называется разрешимой. если она обладает абелевой башней, последним элементом которой будет тривиальная подгруппа (т. е. в предыдущих обозначениях

Предложение 4. Всякая абелева башня конечной группы G допускает циклическое уплотнение. Всякая конечная разрешимая группа G обладает циклической башней, последним элементом которой является

Доказательство. Второе утверждение есть непосредственное следствие первого, и, очевидно, достаточно доказать, что если Q — конечная абелева группа, то G обладает циклической башней. Применим индукцию по порядку группы G. Пусть — элемент из G (можно предполагать, что ) и X — циклическая группа, порожденная Положим По индукции мы можем найти циклическую башню в G; ее прообраз будет циклической башней в G с последним элементом X. Если мы уплотним эту башню, добавив в конце, то получим искомую циклическую башню.