§ 3. Прямые произведения и суммы модулей

Пусть А — кольцо. Как и в случае абелевых групп, копроизведение в категории А-модулей называется прямой суммой.

Предложение 1. Прямые произведения и прямые суммы в категории -модулей существуют.

Доказательство. Доказательство в случае произведения мы предоставляем читателю в качестве упражнения. В качестве образца мы рассмотрим случай суммы, следуя конструкции, данной для прямой суммы абелевых групп. Пусть — семейство А-модулей и

— их прямая сумма как абелевых групп. Определим на М структуру А-модуля. Если — элемент из , т. е. такое семейство элементов что для почти всех , и если , то положим

задавая тем самым умножение на а покомпонентно. Тривиально проверяется, что это есть действие А на М, превращающее М в А-модуль. Если читатель обратится теперь к данному ранее доказательству существования прямых сумм в категории абелевых групп, то он сразу увидит, что его можно продолжить в том же плане, с тем чтобы показать, что М есть прямая сумма семейства как

А-модулей (например, отображение

для которого имеет компоненту, равную компоненту, равную 0, при теперь, как легко видеть, будет А-гомоморфизмом).

Для данного семейства А-гомоморфизмов отображение определенное в доказательстве для абелевых групп, является также А-гомоморфизмом и обладает всеми необходимыми свойствами.

В случае когда -конечное множество, имеется полезный критерий представимости модуля в виде прямого произведения.

Предложение 2. Пусть М — А-модуль и — целое число

Для каждого пусть — А-гомоморфизм, такой, что

Тогда для всех i. Положим и возьмем отображение для которого

Тогда будет А - изоморфизмом М на прямое произведение . Доказательство. Для каждого j имеем

что доказывает первое утверждение. Ясно, что — А-гомоморфизм. Пусть лежит в его ядре. Так как

то мы заключаем, что , так что инъективно. Пусть для каждого заданы элементы . Положим

Очевидно, при . Следовательно,

для каждого . Это доказывает, что сюръективно, и завершает доказательство нашего предложения.

Заметим, что в том случае, когда — конечное множество, прямая сумма и прямое произведение совпадают.

Как и в случае абелевых групп, для обозначения прямой суммы мы используем символ

Пусть М — модуль над кольцом А и S — подмножество в М. Под линейной комбинацией элементов из S (с коэффициентами в А) понимают сумму

где - некоторое множество элементов из А, почти все из которых равны 0.

Эти элементы называются коэффициентами линейной комбинации. Пусть N — множество всех линейных комбинаций элементов из S. Тогда N — подмодуль в М, так как если

— две линейные комбинации, то их сумма равна

а если , то

и эти элементы снова являются линейными комбинациями элементов из S. Мы будем называть N подмодулем, порожденным S, a множеством образующих для N. Иногда мы будем писать . Если S состоит из одного элемента , то модуль, порожденный записывается также в виде или просто и иногда мы будем говорить, что есть главный модуль.

Модуль М называется конечно порожденным, или модулем конечного типа, если он имеет конечное число образующих.

Подмножество S модуля М называется линейно независимым (над А), если из равенства нулю линейной комбинации

обязательно вытекает, что для всех . Если S линейно независимо и если две линейные комбинации

равны, то для всех . Действительно, вычитание одной линейной комбинации из другой дает откуда для всех . Если подмножество о линейно независимо, то мы будем также говорить, что его элементы линейно независимы. Аналогично семейство элементов из М называется линейно независимым, если, какова бы ни была линейная комбинация

для всех i. Подмножество S (соответственно семейство ) называется линейно зависимым, если оно не является линейно независимым, т. е. если существует соотношение

в котором не все .

Предостережение. Пусть — какой-нибудь элемент из М, являющийся линейно независимым. Тогда семейство в котором для всех I, линейно зависимо, если но множество, состоящее из самого линейно независимо.

Пусть М — А-модуль и — некоторое семейство его подмодулей Имея гомоморфизмы включения

получаем индуцированный гомоморфизм

такой, что для любого семейства элементов , среди которых все, кроме конечного числа, равны G,

Если — изоморфизм, то мы говорим, что семейство есть разложение М в прямую сумму. Это, очевидно, равносильно тому, что всякий элемент из М имеет единственное представление в виде суммы

где и почти все Допуская неточность в обозначениях, мы в этом случае будем также писать

Если семейство таково, что всякий элемент из М допускает какое-то представление в виде суммы (не обязательно единственное), то мы будем писать . В общем случае, если ( - произвольное семейство подмодулей, то образ определенного выше гомоморфизма есть подмодуль в М, который будет обозначаться через

Если М — модуль и N, N — два таких его подмодуля, что то имеет место изоморфизм модулей

точно так же как и в случае абелевых групп, и аналогично для конечного числа подмодулей

Отметим, что наше изложение теории абелевых групп есть, разумеется, частный случай теории модулей просто потому, что абелевы группы можно рассматривать как модули над Z Однако обычно представляется желательным (хотя это и непроизводительно) получать сначала некоторые результаты для абелевых групп, а затем указывать, что они, вообще говоря, справедливы (очевидным образом) и для модулей.

Пусть М, М, N — модули. Тогда имеет место изоморфизм абелевых групп

и аналогично

Первый из изоморфизмов получается следующим образом. Если гомоморфизм, то индуцирует гомоморфизмы посредством композиции с вложениями соответственно М и М в их прямую сумму

Мы предоставляем читателю проверить, что сопоставление

и дает изоморфизм, указанный в первой рамке. Изоморфизм во второй рамке получается аналогичным способом. Если даны гомоморфизмы , то имеет место гомоморфизм определяемый формулой

Тривиально проверяется, что сопоставление

дает изоморфизм, указанный во второй рамке.

Конечно, прямая сумма и прямое произведение двух модулей изоморфны, но мы различаем их в обозначениях из соображений функториальности.

Предложение 3. Пусть - точная последовательность модулей. Следующие условия эквивалентны.

(1) Существует гомоморфизм — такой, что

(2) Существует гомоморфизм , такой, что При выполнении этих условий имеют место изоморфизмы

Доказательство. Выпишем гомоморфизмы из правой части последовательности

Пусть . Тогда разность

лежит в ядре g и, следовательно, .

Эта сумма прямая, так как если

где , то здесь и, применяя g, получаем, что . Таким образом, w однозначно определен элементом а потому z однозначно определен элементом Следовательно, то же справедливо и для у; тем самым доказано, что сумма прямая.

Рассуждения, относящиеся к другой части последовательности, аналогичны, и проведение их предоставляется читателю в качестве упражнения, равно как и доказательство эквивалентности обоих условий. В случае когда эти условия удовлетворяются, говорят, что точная последовательность из предложения 3 расщепляется.