§ 4. Пространство функций классов

Пусть k — некоторое поле, Под функцией классов на G (над k или значениями в k) мы будем понимать функцию такую, что для всех . Таким образом, функция классов может рассматриваться как функция на классах сопряженных элементов. Ясно, что характеры — это функции классов, так как для квадратных матриц

Мы всегда будем по линейности расширять область определения функции классов до группового кольца. Если

— функция классов, то полагаем

Пусть . Мы пишем если элемент сопряжен с , т. е. если существует элемент , для которого . Элемент группового кольца, имеющий вид

будет также называться классом сопряженных элементов.

Предложение 3. Пусть k — произвольное поле. Элемент из тогда и только тогда коммутирует со всяким элементом когда он является линейной комбинацией классов сопряженных элементов.

Доказательство. Пусть причем для всех . Тогда

Следовательно, для всякого а, сопряженного с а это и означает, что мы можем записать

где сумма берется по всем классам сопряженных элементов у.

Замечание. Отметим, что классы сопряженных элементов на самом деле образуют базис центра группового кольца над Z и вследствие этого играют универсальную роль в теории представлений.

Отметим также, что классы сопряженных элементов линейно независимы над k и образуют базис для центра алгебры над

Будем отныне предполагать, что k алгебраически замкнуто. Тогда

— прямое произведение простых колец и каждое есть алгебра матриц над k. Центром прямого произведения, очевидно, будет произведение центров сомножителей. Обозначим через образ k в , другими словами,

где - единичный элемент в Тогда центр алгебры равен также пространству

которое -мерно над

Пусть — типический простой левый идеал в Тогда

Положим

Тогда

Имеем также разложение как - пространства в прямую сумму

Введенные выше обозначения будут далее оставаться фиксированными.

Мы можем суммировать некоторые из наших результатов следующим образом.

Предложение 4. Пусть поле k алгебраически замкнуто. Тогда число классов сопряженных элементов группы G равно числу ее простых характеров и оба эти числа равны размерности s центра групповой алгебры Классы сопряженных элементов и идемпотентные элементы образуют базисы центра .

Число элементов в будет обозначаться через а в любом классе сопряженных элементов — через . Мы называем это число порядком класса. Центр групповой алгебры будет обозначаться через

Мы можем рассматривать как О-модуль. Его характер будет называться регулярным характером-, мы будем обозначать его через или, если нужно подчеркнуть зависимость от , через Представление на называется регулярным представлением. Из нашего разложения в прямую сумму получаем

Вычислим значения регулярного характера.

Предложение 5. Пусть - регулярный характер. Тогда если

Доказательство. Пусть — элементы группы О,

Они образуют базис над k. Матрица элемента 1 есть единичная матрица размера Отсюда вытекает наше второе утверждение. Если , то умножение на а переставляет и непосредственно ясно, что все диагональные элементы в матрице, представляющей о, равны 0. Это доказывает все, что нам нужно.

Отметим, что мы имеем два естественных базиса для центра групповой алгебры. Во-первых, классы сопряженных элементов группы G. Во-вторых, элементы (т. е. идемпотентные элементы колец ). Мы хотим найти соотношения между ними, т. е., другими словами, хотим найти коэффициенты в выражении через элементы группы. В следующем параграфе значения этих коэффициентов будут интерпретированы как скалярные произведения. Это объяснит их таинственный вид.

Предложение 6. Мы снова предполагаем, что поле к алгебраически замкнуто. Пусть

Тогда

Доказательство. Для всех имеем

В силу предложения 5

С другой стороны,

Следовательно,

для всех Это доказывает наше предложение.

Следствие 1. Каждый элемент может быть выражен через элементы группы с коэффициентами, которые лежат в поле, порожденном над простым полем корнями степени из единицы, где — показатель группы G.

Следствие 2. Размерности не делятся на характеристику поля

Доказательство. Иначе было бы что невозможно.

Следствие 3. Простые характеры линейно независимы над

Доказательство. Можно применить доказательство следствия 1 теоремы 3, поскольку мы теперь знаем, что характеристика не делит

Следствие 4. Предположим дополнительно, что k имеет характеристику 0. Тогда для всякого

Доказательство. Умножая наше выражение для на а также на получим

Пусть — примитивный корень степени из единицы и М — модуль над Z, порожденный конечным числом элементов Тогда из предыдущего соотношения тотчас видно, что умножение на отображает М в себя. В силу определения целых элементов заключаем, что — целый элемент над Z и, следовательно, лежи в Z, что и требовалось.

Теорема S. Пусть поле k алгебраически замкнуто. Пусть — центр алгебры -пространство функций классов на О. Тогда пространства дуальны друг другу относительно спаривания

Простые характеры и идемпотентные элементы образуют ортогональные друг другу базисы. При этом

Доказательство. Формула уже была получена в ходе доказательства теоремы 3. Оба пространства, о которых идет речь, имеют размерность s и Наше предложение теперь очевидно.