§ 3. Локализация

Мы продолжаем предполагать, что «кольцо» означает «коммутативное кольцо»

Пусть А — некоторое кольцо. Под мультипликативным подмножеством в А мы будем понимать подмоноид в кольце А (рассматриваемом как мультипликативный моноид согласно КО 2). Другими словами, это есть подмножество - S, содержащее 1 и вместе с любыми двумя элементами х, у их произведение

Мы построим сейчас кольцо частных кольца А по S, известное также под названием кольца отношений кольца А по

Рассмотрим пары , где . Определим отношение

между такими парами следующим условием: существует элемент для которого

Тривиально проверяется, что это будет отношение эквивалентности; класс эквивалентности, содержащий пару обозначается через Множество классов эквивалентности обозначается символом S А.

Отметим, что если , то содержит ровно один элемент, а именно 0/1.

Условием

в вводится умножение Тривиально проверяется, что это умножение правильно определено. Оно имеет единичный элемент, а именно 1/1, и, очевидно, ассоциативно.

Сложение в задается посредством формулы

Тривиально проверяется, что оно правильно определено. Для примера приведем подробное доказательство. Пусть . Мы должны показать, что

Существуют , для которых

Умножим первое равенство на а второе — на затем сложим их и получим

По определению это и есть то, что мы хотим показать; именно существует элемент из S (например, ), который после умножения на

Заметим, что для данных

Таким образом, это элементарное свойство дробей остается справедливым и в нашей более общей ситуации.

Наконец, так же тривиально проверяется, что два наши закона композиции определяют на структуру кольца.

Пусть

— отображение, при котором . Сразу видно, что — гомоморфизм колец. Кроме того, всякий элемент из обратим в (обратным к s/1 служит 1/s).

Пусть — категория, объектами которой служат кольцевые гомоморфизмы

такие, что для всякого элемент обратим в В. Если . В — два объекта в морфизм g из f в f — это гомоморфизм

для которого коммутативна диаграмма

Мы утверждаем, что универсальный объект в этой категории

Доказательство. Предположим, что или, другими словами, что пары эквивалентны. Найдется , для которого

Пусть — объект из . Тогда

Умножая на а затем на получаем

Следовательно, мы можем определить отображение

при котором для всех . Тривиально проверяется, что h — гомоморфизм, приводящий к нужной коммутативной диаграмме. Тривиально проверяется также, что такой гомоморфизм h единствен и, следовательно, есть универсальный объект, что и требовалось доказать.

Пусть А — целостное кольцо и S — мультипликативное подмножество, не содержащее 0. Тогда отображение

инъективно.

Действительно, по определению равенство означает, что существует для которого и, следовательно,

Наиболее важными примерами мультипликативных множеств являются, следующие.

(i) Пусть А — кольцо и S — множество обратимых элементов в А (т. е. множество единиц). Тогда S, очевидно, мультипликативно и обозначается, как мы отмечали, через А. Если А — поле, то А — мультипликативная группа отличных от нуля элементов в А. В этом случае совпадает просто с А.

(ii) Пусть А — целостное кольцо и S — множество всех его ненулевых элементов. Тогда S — мультипликативное множество и — поле, называемое полем частных или полем отношений кольца А.

Обычно А отождествляют с соответствующим подмножеством в и пишут

(iii) Кольцо Л называется локальным кольцом, если оно имеет единственный максимальный идеал. Если А — локальное кольцо, ш — его максимальный идеал и то элемент обратим (иначе порождал бы собственный идеал, не содержащийся в что невозможно). Пусть А — некоторое кольцо и его простой идеал. Обозначим через S дополнение к в А. Тогда S — мультипликативное подмножество в А и обозначается символом Это локальное кольцо (см. упражнение 3); оно называется локальным кольцом кольца А в

Пусть А — кольцо и S — некоторое его мультипликативное подмножество. Обозначим через множество всех идеалов в А. Мы можем определить отображение

положив где — подмножество в состоящее из всех дробей Читатель легко проверит, что будет - идеалом и что является гомоморфизмом как для аддитивной, так и для мультипликативной структур моноида на множестве Кроме того, сохраняет также пересечения и включения; другими словами, для любых идеалов из А мы имеем

Для примера докажем последнее соотношение. Пусть . Тогда лежит как в так и в , так что включение левой части в правую тривиально. Обратно, пусть мы имеем элемент из который может быть записан в виде где . Тогда найдется элемент такой, что

и этот элемент лежит как в а, так и в b. Следовательно, элемент

лежит в что и требовалось доказать.