УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть k — поле, X — переменная над k и

— рациональная функция из k (X), представленная в виде отношения двух взаимно простых многочленов Определим степень как и положим

(а) Показать, что степень равна степени расширения k(X) над k(Y) (в предположении, что ).

(б) Показать, что всякий автоморфизм поля k(X) над k может быть представлен рациональной функцией степени 1 и, обратно, что всякая такая функция определяет некоторый автоморфизм, (в) Показать, что эта группа автоморфизмов порождается следующими отображениями

2. Пусть k — поле из q элементов и — поле рациональных функций от одной переменной над k. Пусть G — группа автоморфизмов поля К, задаваемых отображениями

где а, b, с, d лежат в . Доказать следующие утверждения:

(i) Порядок G равен

(ii) Неподвижное поле группы G равно k (К), где

(iii) Пусть — подгруппа в G, состоящая из отображений Неподвижное поле группы , совпадает с , где .

(iv) Пусть — подгруппа в Ни состоящая из отображений Неподвижное поле группы равно k (Z), где

3. Пусть Q — фиксированное алгебраическое замыкание поля Q, Е — максимальное подполе в Q, не содержащее (такое подполе существует в силу леммы Цорна). Показать, что всякое конечное расширение поля Е — циклическое. (Ваше доказательство должно остаться пригодным, если вместо взять любое алгебраическое иррациональное число.)

4. Пусть k — поле, k — его алгебраическое замыкание, а — автоморфизм k, оставляющий k неподвижным, и - неподвижное поле относительно а. Показать, что всякое конечное расширение поля F — циклическое.

(Две предыдущие задачи — это примеры Артина, показывающие, как выкапывать ямы в алгебраически замкнутом поле.)

5. (i) Пусть К — циклическое расширение поля F с группой Галуа G, порожденной Предположим, что характеристика равна и что где m — некоторое целое число 2. Пусть (3 — элемент поля К, для которого ) . Показать, что в К существует элемент а, такой, что

(ii) Доказать, что многочлен неприводим в .

Доказать, что если — корень этого многочлена, то — расширение Галуа поля F, циклическое и имеющее степень и что его группа Галуа порождается продолжением а автоморфизма для которого

6. Пусть Е — алгебраическое расширение поля , такое, что всякий многочлен из степени -1 имеет хотя бы один корень в Е. Доказать, что Е алгебраически замкнуто.

[Указание: рассмотреть отдельно сепарабельный и чисто несепарабельный случай и воспользоваться теоремой о примитивном элементе.]

7. Относительные инварианты (Сато). Пусть — поле, К — его расширение и G — группа автоморфизмов К над k, причем k совпадает с неподвижным полем группы G. (Мы не предполагаем, что К алгебраично над k.) Под относительным инвариантом группы G в К мы будем понимать элемент такой, что для всякого существует элемент для которого Так как — автоморфизм, то . Мы будем говорить, что отображение принадлежит Р, и будем называть его характером. Доказать следующие утверждения:

(а) Определенное выше отображение — гомоморфизм.

(б) Если один и тот же характер принадлежит относительным инвариантам Р и Q, то существует такой элемент что

(в) Относительные инварианты образуют мультипликативную группу, которую мы обозначаем через

Элементы из называются мультипликативно независимыми по модулю k, если их образы в факторгруппе мультипликативно независимы, т. е. если из соотношения

где — целые числа, следует, что

(г) Доказать, что если мультипликативно независимы по модулю k, то они алгебраически независимы над k. [Указание: воспользоваться теоремой Артина о характерах.]

(д) Пусть — поле частных кольца многочленов причем G индуцирует автоморфизмы этого кольца многочленов. если — относительно инвариантные многочлены, то их н. о. д. является относительным инвариантом; если — относительный инвариант, являющийся отношением двух взаимно простых многочленов, то — относительные инварианты. Доказать, что относительно инвариантные многочлены порождают Пусть S — множество относительно инвариантных многочленов, которые не могут быть разложены в произведение двух относительно инвариантных многочленов степени Показать, что элементы из мультипликативно независимы и что, следовательно, — свободная абелева группа. (Если вы знакомы с понятием степени трансцендентности, то, используя , вы сможете заключить, что эта группа — конечно порожденная.]

8. Пусть Е — конечное сепарабельное расширение над k степени — система элементов из — различные вложения Е в k над k. Определим дискриминант системы W, положив

Доказать: (а) Если — какая-нибудь другая система (столбец) элементов из Е и — матрица из элементов поля k, такая, что то

(б) Дискриминант является элементом из

(в) Пусть . Пусть — корни скажем, Тогда

Показать, что

(г) Пусть обозначения те же, что и в (а). Показать, что

[Указание: пусть А — матрица Показать, что есть матрица .]

9. Пусть F — конечное поле и К — его конечное расширение. Показать, что норма и след сюръективны (как отображения К в ).

10. Пусть - целое число, свободное от квадратов. Для каждого простого числа пусть — поле разложения многочлена над Q. Показать, что . Для всякого целого числа свободного от квадратов, пусть

— композит всех полей , и пусть — степень над Q. Показать, что если нечетно, то а если четно, то или в зависимости от того, содержится или нет а в поле корней степени из единицы

11. Пусть А — абелева группа и G — конечная циклическая группа с образующей о, действующая на А [посредством гомоморфизма . Определим след на А, положив ) Обозначим через ядро следа и рассмотрим — подгруппу в А, состоящую из всех элементов вида Показать, что .

12. Какова группа Галуа следующих многочленов: (а) над (б) над Q. (в) над над над над над Q, где а — любое целое число и свободное от квадратов, — а над Q, где нечетное а — любое свободное от квадратов целое положительное число, над над над — различные простые числа), над над С (t), где t трансцендентно над полем комплексных чисел С, а и — целое положительное число, над R (t), где t такое же, как и выше.

13. Пусть k — поле, — нечетное целое число и J — примитивный корень степени из единицы, лежащий в k. Показать, что k содержит также примитивный корень степени из единицы.

14. Пусть k — конечное расширение поля рациональных чисел. Показать, что в k имеется только конечное число корней из единицы.

1S. Определить, какие корни из единицы имеются в следующих полях:

16. Для каких целых чисел примитивный корень степени из единицы имеет степень 2 над

17. Пусть k — поле характеристики 0, причем для всякого конечного расширения Е поля k индекс конечен, каково бы ни было целое положительное . Доказать, что для всякого такого существует только конечное число абелевых расширений над k степени .

18. Пусть — рациональная функция с коэффициентами в конечном расширении поля рациональных чисел, причем существует бесконечно много корней из единицы ?, для которых есть корень из единицы. Показать, что существует такое целое число , что где с — некоторая константа (являющаяся на самом деле корнем из единицы).

Это упражнение может быть обобщено следующим образом. Пусть — конечно порожденная мультипликативная группа комплексных чисел и Г — группа всех комплексных чисел у, таких, что лежит в для некоторого целого . Пусть — рациональная функция с комплексными коэффициентами, такая, что существует бесконечно много , для которых лежит в Г. Тогда снова для некоторых

Мною дано доказательство соответствующего утверждения для случая, когда значения берутся в а не в Г (см. «Diophantine Geometry», гл. VII, теорема 7).

19. Пусть — расширение Галуа. На группе определяем топологию Крулля, беря в качестве фундаментальной системы открытых окрестностей единицы множество подгрупп, которые принадлежат конечным расширениям Е поля k, содержащимся в К. Используя представление на левых смежных классах, находим, что нормальные подгруппы кофинальны в этом семействе и что, следовательно, семейство нормальных подгрупп, принадлежащих конечным нормальным расширениям, определяет ту же самую топологию. Показать, что группа G алгебраически и топологически изоморфна проективному пределу конечных факторгрупп , где U пробегает все такие нормальные подгруппы. Вывести отсюда, что G компактна и вполне несвязна. Такие группы называются проконечными. Показано, что всякая замкнутая подгруппа конечного индекса открыта. Показать, что замкнутые подгруппы — это в точности те подгруппы, которые принадлежат промежуточным подполям с К. Показать, что если Н — произвольная подгруппа в G и неподвижное поле, то подгруппа в G, принадлежащая F, совпадает с замыканием Н в

20. Пусть k — такое поле, что всякое его конечное расширение — циклическое и что для всякого целого оно имеет одно расширение степени . Показать, что группа Галуа есть обратный предел где пробегает все подгруппы в Z, упорядоченные по включению. Показать, что этот предел изоморфен прямому произведению пределов

взятому по всем простым числам , другим» словами, он изоморфен произведению всех аддитивных групп целых -адических чисел.

21. Векторы Витта. Пусть — последовательность алгебраически независимых элементов над кольцом целых чисел Z. Для всякого положим

Показать, что может быть выражено черзз где с рациональными коэффициентами.

Используя векторную терминологию, мы называем компонентами Витта вектора — его призрачными компонентами. Сам мы называем вектором Витта-Рассмотрим степенной ряд

Показать, что

[Под мы понимаем , где степенной ряд, производная которого берется формально.]

Если х, у — два вектора Витта, то их сумму и произведение определяем покомпонентно относительно призрачных компонент, т. е. полагаем

Каковы Показать, что

Стало быть, — многочлен с целочисленными коэффициентами от . Показать также, что

где — наименьшее общее кратное пробегают все целые числа 1. Таким образом, также есть многочлен от с целочисленными коэффициентами.

Предыдущие соображения принадлежат Витту (устное сообщение) и отличаются от приведенных в его первоначальной работе.

Проверить, что формулы, выражающие компоненты зависят только от компонент х и у где .

Если А — коммутативное кольцо, то, взяв гомоморфный образ кольца многочленов над Z в А, мы увидим, что можно определить сложение и умножение векторов Витта с компонентами в А и что эти векторы Витта образуют кольцо W (А). Показать, что W есть функтор, т. е. что любой гомоморфизм кольца А в коммутативное кольцо А индуцирует гомоморфизм .

22. Пусть — простое число. Рассмотрим векторы Витта с компонентами, равными 0, за исключением тех, которые занумерованы степенями . Применим по основанию к номерам этих компонент, — так что мы будем писать нчесто . Например, теперь обозначает то, что раньше было Если k — поле характеристики , то тем же символом обозначается совокупность векторов Витта только что указанного вида. В силу упражнения является кольцом. Для вектора Витта положим

Таким образом, V есть оператор сдвига. Очевидно, Показать, что

Кроме того, по определению имеем

23. Рассмотрим снова W(k), где k — поле характеристики . Тогда V — аддитивный эндоморфизм кольца и F — кольцевой гомоморфизм в себя. Кроме того, для всякого имеем

Если то Обозначая для через вектор Витта мы можем символически записать

Показать, что если , то есть единица в W(k). [Указание: имеем и затем

24. Пусть — целое число , как обычно, — простое число и k — поле характеристики . Обозначим символом кольцо усеченных векторов Витта с компонентами в k. Мы рассматриваем как аддитивную группу. Для положим Очевидно, Р — гомоморфизм. Если К — расширение Галуа поля то мы можем определить как вектор с компонентами . Доказать аналог теоремы 90 Гильберта для векторов Витта и показать, что первая группа когомологий тривиальна. [Берем вектор, след которого является единицей в (к), и тем же путем, что и в доказательстве теоремы 17, § 10, устанавливаем, что цикл является кограницей.]

25. Показать, что если то существует вектор , для которого . Сделать это по индукции сначала для первой компоненты, а затем показать, что вектор лежит в образе тогда и только тогда, когда лежит в образе . Доказать по индукции, что если для некоторого расширения к поля к и если то — вектор, компоненты которого лежат в простом поле. Следовательно, решения уравнения для заданного отличаются все между собой на векторы с компонентами из простого поля, а таких векторов имеется штук. Полагаем

или символически

Доказать, что это расширение Галуа поля k, и показать, что циклические расширения поля k, имеющие степень — это в точности расширения типа где вектор таков, что

26. Развить теорию Куммера для абелевых расширений показателя поля к, используя

Другими словами, показать, что между подгруппами В в содержащими и абелевыми расширениями указанного выше типа имеется биективное соответствие

где . Все это принадлежит Витту (см. Witt Е., Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, 1935 и 1936 гг.). Доказательства, с небольшими изменениями, те же самые, что и данные в тексте для теории Куммера.

27. Дать пример поля К, имеющего степень 2 над двумя различными подполями Е и F соответственно, но такого, что К не алгебраично над

28. Пусть -простое поле характеристики — поле, полученное из F присоединением всех примитивных корней степени из единицы для всех простых чисел . Показать, что К алгебраически замкнуто. [Указание: показать, что если q — простое число и — целое число то существует простое число I, такое, что период равен Для этого используется старый прием Ван дер Вардена. Пусть I — простое число, делящее целое число

Если I не делит то все готово. В противном случае Но при этом не делит b и, следовательно, существует простое число , делящее b. Тогда степень над F есть так что К содержит подполя произвольной степени над