§ 4. Нормирования

В этом параграфе мы получим среди других результатов теорему о существовании продолжения неархимедовых абсолютных значений на алгебраические расширения. Введем сначала одно обобщение понятия неархимедова абсолютного значения.

Пусть Г — мультипликативная коммутативная группа. Мы будем говорить, что на Г определено упорядочение, если задано подмножество S в Г, замкнутое относительно умножения и такое, что Г есть объединение следующих попарно непересекающихся подмножеств: S, единичного элемента 1 и множества состоящего из всех обратных к элементам из S.

По определению неравенство для а, означает, что . В частности, тогда и только тогда, когда Легко проверяются следующие свойства отношения

1. Каковы бы ни были а, либо либо либо причем эти возможности взаимно исключают друг друга.

2. влечет Для всякого .

3. влечет

(Обратно, отношение, удовлетворяющее указанным трем свойствам, определяет подмножество S, состоящее из всех элементов Однако этот факт нам в дальнейшем не потребуется.)

Удобно присоединить формально к упорядоченной группе дополнительный элемент 0, такой, что для всех Упорядоченная группа тогда является аналогом мультипликативной группы положительных вещественных чисел, за исключением того, что упорядочение, возможно, пеархимедово.

Если целое число , для которого , то Это тотчас следует из предположения о том, что S замкнуто относительно умножения и не содержит 1. В частности, отображение инъективно.

Пусть К — поле. Под нормированием К мы будем понимать отображение поля К в упорядоченную группу Г, к которой присоединен дополнительный элемент 0, такое, что

НОР 1. тогда и только тогда, когда

НОР 2.

НОР 3.

Мы видим, что нормирование определяет гомоморфизм мультипликативной группы К в Г. Нормирование называется тривиальным, если оно отображает К в 1. Если отображение, задаваемое нормированием, не сюръективно, то его образ будет упорядоченной подгруппой в Г и, беря ограничение на этот образ, мы получим нормирование, отображающее К на упорядоченную группу, называемую группой значений.

Мы будем обозначать нормирования также через V. Пусть два нормирования на К. Мы будем говорить, что они эквивалентны, если существует сохраняющий порядок изоморфизм X образа на образ такой, что

для всех (Мы принимаем соглашение, что )

Нормирования, как и абсолютные значения, обладают дополнительными свойствами. Например, поскольку . Кроме того,

для всех . Доказательство очевидно. Далее, если , то

Чтобы убедиться в этом, заметим, что при наших предположениях

Наконец, в сумме

по крайней мере два элемента суммы имеют одинаковые значения при нормировании.

Это непосредственно вытекает из предыдущего замечания.

Пусть К — поле. Подкольцо в К называется кольцом нормирования, если оно обладает тем свойством, что для всякого либо либо

Мы увидим сейчас, как кольца нормирования приводят к нормированиям. Пусть о — кольцо нормирования в К и U — группа единиц кольца с. Мы утверждаем, что — локальное кольцо. Действительно, предположим, что не являются единицами. Пусть, скажем, Тогда о Если бы элемент был единицей, то вопреки предположению, что у — не единица. Следовательно, — не единица. Тривиально проверяется, что для элемент не является единицей. Следовательно, не единицы образуют идеал, являющийся, таким образом, единственным максимальным идеалом в .

Пусть m — максимальный идеал в — мультипликативная система ненулевых элементов из . Тогда

есть объединение попарно не пересекающихся множеств . Факторгруппе может быть придано упорядочение. Если , то обозначаем смежный класс символом полагая . Считаем по определению, что тогда и только тогда, когда Наше множество S, очевидно, замкнуто относительно умножения, и если положить , то Г окажется объединением попарно не пересекающихся множеств Таким образом, мы получаем нормирование поля К.

Отметим, что если , то

Обратно, если задано нормирование поля К в некоторую упорядоченную группу, то пусть — подмножество в К, состоящее из всех таких к, что Из аксиом нормирования тотчас вытекает, что — кольцо Если , то , так что не лежит в . Если , то . Мы видим, что есть кольцо нормирования, максимальный идеал которого состоит из элементов и единицами которого служат элементы Читатель тотчас проверит, что имеется биективное соответствие между кольцами нормирования в К и классами эквивалентности нормирований.

Пусть F — поле и пусть символ со удовлетворяет обычным алгебраическим правилам. Для по определению

Выражения не определены.

Точкой поля К в поле F называется отображение

поля К в множество, состоящее из F и удовлетворяющее обычным правилам для гомоморфизмов

(если только выражения, стоящие в правых частях этих формул, определены) и такое, что Мы будем говорить также, это эта точка является -значной. Элементы из К, которые не переводятся в будут называться конечными в этой точке, а остальные элементы будут называться бесконечными.

Читатель тотчас проверит, что множество о элементов из К, конечных в некоторой точке, является кольцом нормирования в К. Его максимальный идеал состоит из тех элементов для которых Обратно, если о — кольцо нормирования в К с максимальным идеалом то обозначим через канонический гомоморфизм и положим для Тривиально проверяется, что — точка.

Пусть - две точки поля К. Беря их ограничения на образы, мы можем считать, что они сюръективны. Будем говорить, что они эквивалентны, если существует изоморфизм К: для которого (Мы полагаем ) Легко видеть, что две точки эквивалентны в том и только в том случае, если они имеют одно и то же кольцо нормирования. Ясно, что имеется биективное соответствие между классами эквивалентности точек поля К и кольцами нормирования в К. Точка называется тривиальной, если она инъективна. Кольцом нормирования тривиальной точки служит просто само поле К.

Заметим, что, как и в случае гомоморфизмов, композиция двух точек снова является точкой (тривиальная проверка).

Часто удобнее иметь дело с точками, а не с кольцами нормирования, так же как иногда удобнее иметь дело с гомоморфизмами, а не с каноническими гомоморфизмами или кольцами по модулю идеала. Однако во всем дальнейшем мы используем язык колец нормирования и предоставляем читателю перевод на язык точек.

Общая теория нормирований и колец нормирования принадлежит Круллю (1932). Однако теория продолжения гомоморфизмов из гл. IX, § 3, была развита лишь около 1945 г. Она дает нам теорему продолжения для нормирований.

Теорема 1. Пусть К — подполе поля L. Тогда всякое нормирование на К имеет продолжение до нормирования на

Доказательство. Пусть о — кольцо нормирования в К, соответствующее данному нормированию. Пусть — канонический гомоморфизм на поле вычетов. Продолжим его до гомоморфизма некоторого кольца нормирования О в L, согласно § 3 из гл. IX. Пусть — максимальный идеал в О. Так как содержит , но не содержит 1, то Пусть -группа единиц кольца О. Тогда будет группой единиц кольца о. Таким образом, имеем каноническое вложение

которое, как непосредственно проверяется, сохраняет порядок. Отождествляя с подгруппой в мы получаем продолжение нашего нормирования поля К до нормирования

Разумеется, когда мы имеем дело с абсолютными значениями, мы требуем, чтобы группа значений была подгруппой мультипликативной группы положительных чисел. Следовательно, мы должны еще кое-что доказать о природе группы значений в случае, когда L алгебраично над К.

Предложение 12. Пусть L — конечное расширение степени поля К, и пусть w — нормирование L с группой значений — группа значений нормирования поля К. Тогда .

Доказательство. Пусть элементы из представляющие различные смежные классы Г по Г. Докажем, что линейно независимы над К. В соотношении два члена должны иметь одно и то же значение, скажем где и, значит,

Это противоречит предположению, что представляют разные смежные классы Г по Г, и тем самым доказывает наше предложение.

Следствие 1. Существует целое число такое, что отображение индуцирует инъективный гомоморфизм Г в Г.

Доказательство. Возьмем равное индексу ,

Следствие 2. Если К—поле с нормированием v, группа значений которого есть упорядоченная подгруппа упорядоченной группы положительных вещественных чисел, и если L — алгебраическое расширение поля К, то существует продолжение нормирования v на L, группой значений которого также служит некоторая упорядоченная подгруппа положительных вещественных чисел.

Доказательство. Мы знаем, что можно продолжить v до нормирования w поля L с некоторой группой значений Г, а группа значений Г нормирования v может быть отождествлена с подгруппой в

В силу следствия 1 всякий элемент из Г имеет конечный период по модулю Г. Так как каждый элемент из имеет единственный корень степени для всякого целого числа то мы очевидным образом можем найти сохраняющее порядок вложение Г в тождественное на Г. Таким образом, мы получаем наше продолжение v до абсолютного значения на

Следствие 3. Если L конечно над К и Г — бесконечная циклическая группа, то группа Г также бесконечная циклическая.

Доказательство. Использовать следствие 1 и тот факт, что всякая подгруппа циклической группы циклическая.

Придадим теперь нашему предыдущему предложе несколько более сильную форму. Будем называть индексом ветвления.

Предложение 13. Пусть L — конечное расширение степени п поля К, О — кольцо нормирования в L, ЭК — его максимальный идеал, — максимальный идеал кольца о, т. е. Тогда степень поля вычетов конечна. Если мы обозначим ее через и через — индекс ветвления, то .

Доказательство. Пусть — представители в различных смежных классов элементы из классы вычетов которых линейно независимы над Рассмотрим соотношение

где

поделим все члены на коэффициент имеющий наибольшее значение относительно нормирования. Мы получим линейную комбинацию элементов с коэффициентами в о, причем по крайней мере один коэффициент является единицей. Так как линейно независимы по модулю над то наша линейная комбинация является единицей. Следовательно,

для некоторого индекса v. В сумме

рассматриваемой как сумма по , по крайной мере два члена имеют одинаковое значение.

Это противоречит независимости элементов , как и в доказательстве предложения 12.

Замечание. Наше доказательство показывает также, что элементы линейно независимы над К. Позднее это будет использовано.

Если - продолжение нормирования v, то индекс ветвления будет обозначаться через а степень поля вычетов — через

Предложение 14. Пусть К — поле с нормированием v и конечные расширения К. Пусть w — продолжение v на Е и и — продолжение w на L. Тогда

Доказательство. Очевидно.

Словами предыдущее предложение можно выразить так: индекс ветвления и степень поля вычетов мультипликативны в башнях.

С помощью нормирований (или колец нормирования) можно получить характеристику целых элементов. Будем пользоваться следующей терминологией. Пусть — локальные кольца с максимальными идеалами соответственно. Будем говорить, что D лежит над , если . В этом случае имеется каноническое вложение

Предложение 15. Пусть — локальное кольцо, содержащееся в поле L. Элемент из L тогда и только тогда является целым над , когда принадлежит всякому кольцу нормирования О поля L, лежащему над .

Доказательство. Предположим, что не является целым над о. Пусть m — максимальный идеал в о. Тогда идеал может совпадать со всем кольцом, поскольку в противном случае мы имели бы

где , откуда

Но не лежит в , следовательно, является единицей в . Разделив уравнение на , видим, что х — целый над , вопреки нашему предположению. Таким образом, идеал не совпадает со всем кольцом и, следовательно, содержится в некотором максимальном идеале S, пересечение которого с о содержит , т. е. должно быть равно . Продолжая канонический гомоморфизм до гомоморфизма некоторого кольца нормирования О поля L, мы видим, что образ есть и, следовательно, не может лежать в этом кольце нормирования.

Обратно, предположим, что элемент является целым над о, и пусть

— целое уравнение для с коэффициентами в . Пусть О — произвольное кольцо нормирования поля L, лежащее над и - соответствующее нормирование. Разделим уравнение на . Если то и мы получаем выражение для 1 в виде суммы членов, каждый из которых имеет нормирование что невозможно. Следовательно, что и требовалось установить.

Предложение 16. Пусть А — кольцо, содержащееся в поле L. Элемент поля L тогда и только тогда является целым над А, когда лежит во всяком кольце нормирования О поля L, содержащем А.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству предыдущего предложения и предоставляется читателю в качестве упражнения.

Мы закончим этот параграф установлением связи между кольцами нормирования в конечном расширении и целыми замыканиями.

Предложение 17. Пусть — кольцо нормирования поля К, L — конечное расширение К, О — кольцо нормирования поля L, лежащее над — его максимальный идеал. Пусть, далее, В — целое замыкание кольца о в Тогда О равнолокальному кольцу В

Доказательство. Ясно, что В содержится в О. Обратно, пусть — элемент из О. Тогда удовлетворяет уравнению с коэффициентами в К, среди которых не все равны 0, скажем

Пусть — коэффициент, имеющий наибольшее значение среди относительно нормирования, ассоциированного с кольцом нормирования о, и притом самый старший из коэффициентов, имеющих это значение. Положим . Тогда все

Разделим уравнение на . Получим

Обозначим через у и z два выражения, стоящие в скобках в предыдущем уравнении, так что

Чтобы доказать наше предложение, достаточно показать, что у и z лежат в В и что у не лежит в .

Воспользуемся предложением 15. Если некоторое кольцо нормирования из L, лежащее над о, содержит то оно содержит и у, поскольку у есть многочлен от с коэффициентами в . Следовательно, оно содержит также и Если, с другой стороны, кольцо нормирования поля L, лежащее над , содержит , то оно содержит z, поскольку есть многочлен от с коэффициентами в . Следовательно, это кольцо нормирования содержит также и у. Отсюда в силу предложения 15 заключаем, что у, z лежат в В.

Кроме того, так как лежат по построению в , то у не может лежать в ЭК и, следовательно, не может лежать в 3. Это завершает доказательство.

Следствие 1. Пусть обозначения те же, что и в предложении. Тогда существует лишь конечное число колец нормирования в L, лежащих над о.

Доказательство. Это вытекает из того факта, что существует лишь конечное число максимальных идеалов кольца В, лежащих над максимальным идеалом кольца о (следствие к предложению 11, гл. IX, § 2).

Следствие 2. Пусть обозначения те же, что и в предложении. Предположим дополнительно, что L является расширением Галуа над К. Если — два кольца нормирования в L, лежащие над , с максимальными идеалами соответственно, то существует автоморфизм а поля L над К, такой, что

Доказательство. Пусть . В силу предложения 11 из гл. IX, § 2, мы знаем, что существует автоморфизм а поля L над К, для которого После этого наше утверждение очевидно.

Пример. Пусть k — поле и К — его конечно порожденное расширение степени трансцендентности 1. Если -базис трансцендентности К над k, то К будет конечным алгебраическим расширением над Пусть О — кольцо нормирования поля К, содержащее k, причем Положим Тогда, очевидно, о является кольцом нормирования поля (условие об обратных заведомо удовлетворяется) и соответствующее нормирование поля не может быть тривиальным: либо t, либо Скажем, Пусть максимальный идеал в о. Тогда не может быть нулевым идеалом, иначе канонический гомоморфизм индуцировал бы изоморфизм на и, значит, изоморфизм на вопреки предположению.

Следовательно, есть простой идеал порожденный каким-то неприводимым многочленом .

Локальное кольцо является, очевидно, кольцом нормирования, которое должно совпадать с о, поскольку всякий элемент из имеет представление вида где — единица в Таким образом, мы определили все кольца нормирования поля содержащие k, и мы видим, что группа значений циклическая. Такие нормирования будут называться дискретными. Они изучаются более подробно ниже. Ввиду следствия 3 предложения 12 кольцо нормирования О в также дискретно.

Поле вычетов равно а потому является конечным расширением k. В силу предложения 13 отсюда следует, что конечно над k (здесь обозначает максимальный идеал в О).

Наконец, отметим, что существует лишь конечное число колец, нормирования О поля К, содержащих k и таких, что t лежит в максимальном идеале кольца О. Действительно, такое кольцо нормирования должно лежать над где — простой идеал, порожденный t, и мы можем применить доказанное выше следствие 1.