УПРАЖНЕНИЯ

1. Доказать, что поле комплексных чисел имеет бесконечно много автоморфизмов [Указание: использовать базисы трансцендентности.

2. Подполе k поля К называется алгебраически замкнутым в К, если всякий элемент из К, алгебраический над k, содержится в k Доказать: если k алгебраически замкнуто в К и К, L алгебраически свободны нат k, причем либо L сепарабельно над k, либо К сепарабельно над k, то L алгебраически замкнуто в

3. Доказать эквивалентность следующих условий (они определяют понятие регулярного расширения)

(l) k алгебраически замкнуто в К и К сепарабельно над

К линейно свободно от k над

4. Доказать для регулярных расширений результаты, аналогичные тем, коюрые были доказаны выше для сепарабельных расширений.

5. Пусть — расширения полей. Показать, что

Если — базис трансцендентности для и -базис трансцендентности для то будет базисом трансцендентности для

6. Пусть конечно порожденное расширение и Е — подрасширение, . Показать, что конечно порождено.

7. Пусть k — поле характеристики — алгебраически независимые над к величины и целочисленная матрица ранга . Пусть, далее,

Показать, что алгебраически независимы над k. [Указание: рассмотреть - гомоморфизм

отображающий - пространство дифференцирований поля в и получить линейные условия на те дифференцирования D, которые обращаются в нуль на

8. Пусть обозначают то же, что в упражнении 7. Показать, что для всякой рациональной функции Р

здесь использованы векторные обозначения, т. е. и Определить и выразить его в терминах коордлнат. Показать, что для любых двух рациональных функций из