§ 6. Индуцированные характеры

Сохраняются обозначения предыдущего параграфа. Однако нам не потребуются все доказанные там результаты: все что нам нужно, — это билинейное спаривание на X(G) и его продолжение до

Символ может интерпретироваться и как билинейное продолжение, и как эрмитово продолжение, согласно теореме 7.

Пусть S — подгруппа в О. Имеется Я-линейное отображение, называемое отображением ограничения

которое каждой функции классов на О сопоставляет ее ограничение на S.

Это гомоморфизм колец. Ограничение f на S мы иногда будем обозначать через .

Определим отображение в обратную сторону

которое мы будем называть отображением индуцирования. Именно, если , то продолжаем g до на G, считая при и затем полагая

Очевидно, есть функция классов на G. Если нет необходимости указывать в обозначении S или G, то мы часто будем писать g вместо и называть g индуцированной функцией. Ясно, что отображение -линейно.

Так как сейчас мы имеем дело с двумя группами S и О, то мы будем обозначать скалярное произведение через когда оно берется относительно той или другой из этих групп. Следующая теорема среди прочего показывает, что отображения ограничения и индуцирования сопряжены друг с другом относительно нашей формы.

Теорема 10. Пусть S — подгруппа в G. Тогда справедливы следующие правила.

(i) (Закон взаимности Фробениуса). Для имеем

(ii)

(iii) Если — подгруппы в G, то

(iv) Если определено формулой , где то

(v) Если — собственный характер подгруппы S, то — собственный характер группы

Доказательство. Докажем сначала (). Используем обозначение со звездочкой. Мы должны показать, что Имеем

Последнее из полученных выражений равно что и доказывает . Теперь просуммируем по всем из G выражения

Ненулевой вклад в нашу двойную сумму внесут только те пары , для которых произведения вида будут элементами из S. Число пар , таких, что есть некоторый фиксированный элемент из G, равно (поскольку для всякого пара ) есть другая такая пара, а общее число пар равно Следовательно, наше просуммированное выражение справа равно

Первое правило вытекает теперь из определений скалярного произведения в и S соответственно.

Пусть теперь — собственный характер подгруппы S и простой характер группы . Из находим, что коэффициенты Фурье для g являются целыми числами Действительно, — собственный характер S. Поэтому скалярное произведение

есть целое число Следовательно, — собственный характер G, что доказывает

Для доказательства свойства транзитивности удобно ввести следующие обозначения.

Пусть — множество правых смежных классов по подгруппе S. Для каждого смежного класса с выберем фиксированного представителя, обозначаемого через с. Таким образом, если — эти представители, то

Лемма. Пусть g — некоторая функция классов на S. Тогда

Доказательство. Мы можем сумму по всем в определении индуцированной функции разложить в двойную сумму

заметим при этом, что всякий член равен при о поскольку g — функция классов. Следовательно, достаточно в сумме по всем сократить множитель чтобы получить выражение, указанное в лемме.

Если — подгруппы в и

— разложения на правые смежные классы, то будет системой представителей для правых смежных классов G по Т. Ввиду этого свойство транзистивности очевидно.

Мы предоставим читателю в качестве упражнения (которое, если принять во внимание лемму, тривиально).