§ 2. Коммутативные кольца

В этом параграфе слово „кольцо“ будет означать „коммутативное кольцо“.

Пусть А — кольцо. Простой идеал в А — это такой идеал Ф А, что кольцо — целостное. Эквивалентным образом мы могли бы сказать, что это такой идеал , для которого из условий всегда следует, что или .

Пусть m — идеал. Мы говорим, что — максимальный идеал, если и если не существует идеала , содержащего .

Всякий максимальный идеал — простой. Доказательство. Пусть — максимальный идеал, и пусть таковы, что . Предположим, что . Тогда — идеал, строго содержащий и, стало быть, равный А. Следовательно, мы можем написать

где . Умножая на у, получаем

откуда , таким образом, простой.

Пусть А — кольцо. Всякий его идеал содержится в некотором максимальном идеале Доказательство. Множество идеалов, содержащих а и , индуктивно упорядочено по включению. Действительно, если — линейно упорядоченное множество таких идеалов, то ни для какого i и, следовательно, 1 не лежит в идеале который и мажорирует все Пусть — некоторый максимальный элемент в нашем множестве. Тогда и m является максимальным идеалом, что и требовалось установить.

Пусть А — кольцо. Тогда (0) является простым идеалом в том и только в том случае, если А — целостное. (Доказательство очевидно.)

Мы определили поле К как такое кольцо, в котором и мультипликативный моноид отличных от нуля элементов является группой (т. е. если то для существует обратный). Отметим, что единственные идеалы поля К — это само К и нулевой идеал.

Если А — кольцо и m — максимальный идеал, то — поле. Доказательство. Для обозначаем через класс вычетов элемента по модулю . Так как , то в имеется единичный элемент Всякий ненулевой элемент из может быть записан

Чтобы найти его обратный, заметим, что есть идеал в А, строго содержащий m и, стало быть, равный А. Следовательно, мы можем написать

где . Это означает, что (т. е. 1) и, таким образом, имеет обратный, что и требовалось установить.

Мы предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что и обратно, если А — кольцо и — такой идеал, что — поле, то максимален.

Пусть — гомоморфизм (коммутативных колец, согласно действующему соглашению). Пусть — простой идеал в А и Тогда идеал простой.

Для доказательства возьмем с условием . Предположим, что . Тогда . Но Следовательно, что и требовалось установить.

В качестве упражнения докажите, что если гомоморфизм сюръективен — максимальный идеал в А, то идеал максимален в А.

Пример. Пусть Z — кольцо целых чисел. Мы уже отмечали, что всякий идеал в этом кольце главный и имеет вид для некоторого целого (однозначно определенного идеалом). Пусть — простой идеал (отличный от 0), Тогда должно быть простым числом, что по существу непосредственно вытекает из определения простого идеала. братно, если — простое число, то — простой идеал (тривиальное упражнение). Кроме того, — максимальный идеал. Действительно, предположим, что содержится в некотором идеале Тогда для некоторого целого , откуда или что и доказывает максимальность

Пусть — целое число. Факторкольцо называется кольцом целых чисел по модулю . Если равно простому числу , то кольцо целых чисел по модулю является в действительности полем, обозначаемым символом . В частности, мультипликативная группа поля называется группой отличных от нуля целых чисел по модулю . Из элементарных свойств групп получаем следующий стандартный факт элементарной теории чисел. Если — целое число , то . (Для простоты обычно пишут вместо и аналогично пишут вместо для любого целого .) Если, далее, дано целое число то обратимые элементы кольца состоят из тех классов вычетов которые представляются целыми числами , взаимно простыми с . Порядок группы единиц (обратимых элементов) кольца обозначается через известна как эйлерова -функция)

Следовательно, если — целое число, взаимно простое с , то .

Китайская теорема об остатках. Пусть А — кольцо и — такие идеалы, что при всех Для любого семейства элементов кольца А существует такой элемент что при всех .

Доказательство — по индукции. Если , то имеем

для некоторых элементов и можно положить

Предположим, что теорема доказана для семейства из идеалов. Для каждого мы можем найти элементы и такие, что

Произведение равно 1 и лежит в , т. е. . Следовательно,

В силу справедливости теоремы при мы можем найти такой элемент что

Аналогично найдутся такие элементы что при j. Тогда элемент удовлетворяет нашим требованиям.

Еще одно замечание в том же духе: если — такие идеалы в А, что

и если — положительные целые числа, то

Доказательство тривиально и предоставляется читателю в качестве упражнения.

Следствие. Пусть А — кольцо и идеалы в А.

Предположим, что при . Пусть

— отображение кольца А в написанное произведение, индуцированное каноническими отображениями А на для каждого множителя. Тогда ядро отображения есть и f сюръективно, что приводит, таким образом, к изоморфизму

Доказательство. Утверждение о ядре очевидно. Сюръективность вытекает из предыдущей теоремы.

Теорема и ее следствие часто применяются к кольцу целых чисел Z и к попарно различным простым идеалам Они удовлетворяют предпосылкам теоремы, поскольку являются максимальными. Аналогично можно взять целые числа попарно взаимно простые, и применить теорему к главным идеалам . Это ультраклассический случай китайской теоремы об остатках.

Пусть, в частности, — целое число и

— разложение на простые сомножители с показателями . Тогда имеем изоморфизм колец

Если А — кольцо, то обозначаем, как обычно, через А мультипликативную группу обратимых элементов в А. Мы предоставляем следующее утверждение читателю в качестве упражнения.

Предыдущий кольцевой изоморфизм на произведение индуцирует изоморфизм групп

В силу этого изоморфизма имеем

Если — простое число — целое число 1, то

Последняя формула доказывается по индукции. Если то - поле и мультипликативная группа этого поля имеет порядок При рассмотрим канонический гомоморфизм колец

порожденный включением идеалов Индуцированный им гомоморфизм групп

сюръективен, потому что любое целое число а, представляющее некоторый элемент из и взаимно простое , будет представлять также некоторый элемент из Пусть а — целое число, представляющее такой элемент из что . Тогда

и, следовательно, мы можем написать

для некоторого Значения приводят к различным элементам из которые все лежат в ядре X. Но в качестве элемента : в предыдущем сравнении всегда может быть выбрано одно из этих чисел, поскольку всякое целое число сравнимо с одним из них по модулю . Следовательно, ядро X имеет порядок и наша формула доказана.

Отметим, что ядро X изоморфно группе (Доказательство) Пусть А — кольцо. Обозначим на минуту его единичный элемент через е. Отображение

для которого будет, очевидно, кольцевым гомоморфизмом с идеалом-ядром , порожденным некоторым целым числом . Канонический инъективный гомоморфизм является (кольцевым) изоморфизмом между и некоторым подкольцом в А. Если А — целостное, то — простой идеал и, следовательно, или где — некоторое простое число. В первом случае А содержит в качестве подкольца кольцо, изоморфное Z и часто отождествляемое с Z. В этом случае мы говорим, что А имеет характеристику 0. Если же , то мы говорим, что А имеет характеристику в этом случае А содержит (изоморфный образ) в качестве подкольца

Всякое поле К имеет характеристику 0 или . В первом случае К содержит в качестве подполя изоморфный образ поля рациональных чисел, а во втором случае оно содержит изоморфный образ поля . В обоих случаях это подполе будет называться простым полем (содержащимся в К). Так как это простое поле является наименьшим подполем в К, содержащим 1 и не имеющим автоморфизмов, кроме тождественного, его обычно отождествляют с Q или в зависимости от того, какой случай имеет место.

Под простым кольцом (в К) мы будем понимать либо кольцо целых чисел Z, если К имеет характеристику 0, либо F, если К имеет характеристику .