Глава XVII. Полупростота

Во многих приложениях модули разлагаются в прямую сумму простых подмодулей, и в этих случаях можно развить некую структурную теорию, как в общих предпосылках, так и для специальных приложений. Настоящая глава посвящена результатам, которые могут быть доказаны в общей ситуации. В следующей главе мы рассмотрим те дополнительные результаты, которые могут быть доказаны в важном классическом частном случае.

При доказательстве теоремы плотности я более или менее следовал Бурбаки.

§ 1. Матрицы и линейные отображения над некоммутативными кольцами

В гл. XIII мы рассматривали исключительно матрицы над коммутативными кольцами. Для наших нынешних целей надо исследовать более общую ситуацию.

Пусть К — кольцо. Матрица с коэффициентами в К определяется точно так же, как мы это делали для коммутативных колец. Произведение матриц определяется по той же самой формуле. По-прежнему имеют место ассоциативность и дистрибутивность, в случае когда размеры матриц таковы, что соответствующие операции для ник определены. В частности, квадратные матрицы размера над К образуют кольцо, обозначаемое, и раньше, символом Имеет место кольцевой гомоморфизм

на диагональ.

Напомним, что телом называется кольцо с в котором всякий ненулевой элемент обладает мультипликативным обратным.

Если К — тело, то всякий ненулевой -модуль имеет базис и мощности любых двух базисов равны. Доказательство такое же, как в коммутативном случае: в рассуждениях мы нигде не использовали коммутативности.

Эта мощность по-прежнему называется размерностью модуля над К, и модули над телами называются векторными пространствами.

Как и в коммутативном случае, мы можем всякому линейному отображению сопоставить матрицу, зависящую от выбора конечного базиса. Однако мы будем рассматривать несколько отличную ситуацию, которая нам потребуется для приложений к полупростым модулям.

Пусть R — кольцо, и пусть

— -модули, представленные в виде прямых сумм -модулей. Мы хотим описать наиболее общий вид -гомоморфизма модуля Е в

Предположим сначала, что имеет одну компоненту. Пусть

— гомоморфизм и — ограничение на слагаемое Е]. Всякий элемент имеет единственное представление где Мы можем поэтому сопоставить элементу столбец компоненты которого лежат соответственно в а гомоморфизму — строку Тогда действие на элемент из Е описывается умножением матриц—строки на столбец.

Более общо, рассмотрим гомоморфизм

Пусть — проекция на множитель. Мы можем применить наше предыдущее замечание к для каждого I. При этом мы обнаружим, что существуют однозначно определенные элементы такие, что имеет матричное представление

причем действие на элемент задается умножением матриц, а именно

Обратно, если дана матрица то с помощью нее можно определить элемент из . Таким образом, мы получаем изоморфизм аддитивных групп между и этой группой матриц.

Пусть, в частности, Е — фиксированный -модуль и Тогда имеет место изоморфизм колец,

который всякому сопоставляет матрицу

определенную выше и действующую слева на столбцы из с компонентами из Е.

Замечание. Пусть Е — одномерное векторное пространство над телом D и — его базис. Для всякого существует единственное -линейное отображение такое, что Тогда справедливо правило

Таким образом, когда мы сопоставляем линейному отображению матрицу, зависящую от базиса, умножение оказывается скрученным. Тем не менее утверждение, которое мы сформулировали перед этим замечанием, правильно! Дело в том, что, когда Е одномерно, мы берем а не в D. Поэтому К не изоморфно D (в некоммутативном случае), а антиизоморфно. Это единственный пункт, в котором формальная элементарная теория линейных отображений различается в коммутативном и некоммутативном случаях.

Напомним, что -модуль Е называется простым, если он и не содержит подмодулей, отличных от 0 или Е.

Предложение 1. Пусть Е, F — простые -модули. Тогда всякий ненулевой гомоморфизм Е в F является изоморфизмом, а кольцо — телом.

Доказательство. Пусть - ненулевой гомоморфизм. Его образ и ядро — подмодули, следовательно, равны соответственно f и 0, так что — изоморфизм. Если то обратим, что и требовалось доказать.

(Предложение 1 известно как лемма Шура.)

Следующее предложение полностью описывает кольцо эндоморфизмов прямой суммы простых модулей.

Предложение 2. Пусть прямая сумма простых модулей, где между собой неизоморфны и каждый повторяется в сумме раз. Тогда с точностью до перестановки и изоморфизмов (а также и их кратности) однозначно определены. Кольцо изоморфно кольцу матриц вида

где — матрица размера над (Изоморфизм этот совпадает с тем, который соответствует разложению в прямую сумму.)

Доказательство. Последнее утверждение вытекает из наших предыдущих рассмотрений, если принять во внимание предложение 1. Утверждение же о простых слагаемых и их кратностях в прямых суммах является следствием общей теоремы Жордана — Гёльдера.

В случае когда Е обладает разложением в (конечную) прямую сумму простых подмодулей, число раз, которое простой модуль из данного класса изоморфных модулей встречается в разложении, будет называться кратностью этого простого модуля (или его класса относительно изоморфизма).

Кроме того, если модуль

представлен в виде прямой суммы простых подмодулей, то мы будем называть длиной Е. Во многих случаях мы будем также писать