§ 5. Тензорная алгебра модуля

Пусть G — коммутативный моноид, записываемый аддитивно. Под - градуированным кольцом мы будем понимать кольцо А, для аддитивной группы которого задано представление в виде прямой суммы

а умножение в А отображает для всех

В частности, -подкольцо.

Элементы из называются однородными элементами степени . Мы построим несколько примеров градуированных колец по следующему образцу. Пусть для всякого задана абелева группа (записываемая аддитивно), и пусть для всякой пары задано отображение . Предположим, что определяемая этими отображениями композиция ассоциативна и - билинейна. Тогда прямая сумма является кольцом: умножение вводится очевидным образом, а именно

Применим эти соображения к случаю, когда G — моноид натуральных чисел

Пусть обозначает, как и прежде, коммутативное кольцо, и пусть Е — некоторый модуль (т. е. -модуль). Для всякого целого положим

Таким образом, (тензорное произведение, взятое раз). Тогда есть функтор, действие которого на линейные отображения задается следующим образом. Если - линейное отображение, то

в смысле § 1.

Из ассоциативности тензорного произведения получаем билинейные отображения

являющиеся ассоциативными. Посредством этих билинейных отображений мы можем на прямой сумме

определить структуру кольца, а в действительности даже структуру алгебры (отображая k на ). Мы будем называть Т (Е) тензорной алгеброй модуля Е над k. В общем случае она не коммутативна. Для обозначения кольцевой операции в Т (Е) мы будем писать

Пусть линейное отображение. Тогда для всякого индуцирует линейное отображение

и, таким образом, индуцирует отображение на Т (Е), которое мы будем обозначать символом (Можно не опасаться путаницы с отображением из § 1, которое теперь следовало бы обозначать ) и которое на самом деле равно так как .) Ясно, что — это однозначно определенное линейное отображение, такое, что для

В действительности элементы из являются образующими для как алгебры над k. Мы видим, что является гомоморфизмом алгебр. Таким образом, может рассматриваться как функтор из категории модулей в категорию градуированных алгебр, причем является гомоморфизмом степени 0.

В случае когда модуль Е свободен и конечномерен над k, мы можем, используя предложение 4, полностью определить структуру Т (Е). Пусть Р — некоторая алгебра над k. Мы будем говорить, что Р — алгебра некоммутативных многочленов, если существуют такие элементы , что элементы

где образуют базис для Р над Мы можем назвать эти элементы некоммутативными одночленами от Как обычно, принимается соглашение, что при соответствующий одночлен совпадаете единичным-элементом алгебры Р. Мы видим, что порождают Р как алгебру над и что Р в действительности является градуированной алгеброй, однородная компонента которой состоит из линейных комбинаций одночленов с коэффициентами из k. Естественно сказать, что — независимые некоммутативные переменные над

Предложение 10. Пусть Е — свободный модуль размерности над k. Тогда алгебра Т (Е) изоморфна алгебре некоммутативных многочленов от переменных над . Другими словами, если — базис Е над то элементы

образуют базис и всякий элемент из Т (Е) имеет - единственное представление в виде конечной суммы

где почти все равны 0.

Доказательство. Это тотчас следует из предложения 4, § 2.

Теперь будет дана интерпретация тензорного произведения линейных отображений в связи с понятием тензорной алгебры.

Для удобства мы до конца этого параграфа будем обозначать модуль эндоморфизмов через L (Е).

Образуем прямую сумму

которую для краткости будем также обозначать через . [Разумеется, не равно так что мы должны рассматривать как единый символ.] Определив подходящим образом умножение в , мы увидим, что есть функтор из категории модулей в категорию градуированных алгебр. Пусть Определим произведение как в обозначениях § 1, другими словами, как однозначно определенное линейное отображение, действие которого на элемент где задается формулой

Ввиду ассоциативности тензорного произведения тотчас получаем ассоциативность ; кроме того, мы видим, что наше лроизведение билинейно. Следовательно, есть -алгебра.

Имеет место гомоморфизм алгебр

который в каждой размерности задается линейным отображением

Подчеркнем специально, что тензорное произведение слева взято из

Отметим также, что этот гомоморфизм в общем случае не будет ни сюръективным, ни инъективным. Оказывается, однако, что когда Е — свободный конечномерный модуль над k, то этот гомоморфизм обладает обоими этими свойствами, и, таким образом, в этом случае нам становится ясной структура как алгебры некоммутативных многочленов, порожденной . А именно, из предложения S, § 2, получаем

Предложение 11. Пусть Е — свободный конечномерный, модуль над k. Тогда имеет место изоморфизм алгебр

задаваемый отображением

Доказательство. В силу предложения S из § 2 в каждой размерности имеет место линейный изоморфизм и ясно, что наше отображение сохраняет умножение.

В частности, мы видим, что — алгебра некоммутативных многочленов.