§ 3. Теорема плотности

Пусть Е — полупростой -модуль. Обозначим через К кольцд Тогда Е будет также -модулем, причем действие на Е задается отображением

где . Всякий элемент посредством отображения индуцирует -гомоморфизм Но именно и означает условие

Таким образом, мы получаем гомоморфизм колец

Возникает вопрос, насколько велик образ этого гомоморфизма. Теорема плотности утверждает, что он весьма большой.

Лемма. Пусть Е — полупростой модуль над Существует элемент , такой, что

Доказательство. Так как Е полупрост, то имеет место разюжение в - прямую сумму

для некоторого подмодуля F. Пусть я: проекция. Тогда и, следовательно,

Это показывает, что что и требовалось.

Теорема плотности обобщает эту лемму на случай конечного числа элементов из Е вместо одного. Для доказательства мы используем диагональный прием.

Теорема 1 (Джекобсон). Пусть Е — полупростой модуль над Тогда существует элемент такой, что

Доказательство. Пусть — прямая степень отображения , так что

Положим Очевидно, К есть не что иное, как кольцо матриц с коэффициентами в К. Так как в своем действии на Е коммутирует с элементами из К, то непосредственно видно, что лежит в Но модуль полупростой, поэтому в силу леммы существует элемент а такой, что

а это нам как раз и нужно было доказать.

Следствие 1. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем k и R — подалгебра в . Если Е — простой -модуль, то

Доказательство. Мы утверждаем, что . Во всяком случае, есть тело К, содержащее k в качестве подкольца, и всякий элемент из k коммутирует со всяким элементом из К. Пусть Тогда — поле. Далее, К содержится в как - подпространство и поэтому конечномерно над k. Следовательно, поле конечно над k, а потому равно k, поскольку k алгебраически замкнуто. Это доказывает, что Пусть теперь — базис для Е над k и Согласно теореме плотности, существует элемент a такой, что

Так как действие эндоморфизма А определяется его действием на базис, то заключаем, что .

Следствие 1 известно как теорема Бернсайда. Оно используется в следующей ситуации. Пусть Е—конечномерное векторное пространство над полем k и — подмоноид в (мультипликативный).

Под О-инвариантным подпространством в Е понимается такое подпространство F, что для всех Мы будем говорить, что пространство - просто, если оно не содержит О-инвариантных подпространств, отличных от 0 и самого Е, причем . Пусть подалгебра в порожденная над k. Так как мы предположили, что G — моноид, то R состоит из линейных комбинаций

где . Это означает, что подпространство F в Е будет О-инвариантным в том и только в том случае, если оно -инва-риантно. Следовательно, пространство Е тогда и только тогда О - просто, когда оно просто над R в том смысле, который мы рассматривали выше. Мы можем поэтому переформулировать теорему Бернсайда следующим образом.

Следствие 2. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем k и G - (мультипликативный подмоноид в . Если - просто, то

Даже и в тех случаях, когда поле k не является алгебраически замкнутым, мы все-таки можем получить некоторый результат. Пусть вообще А — кольцо и Е — простой А-мокулъ. Как мы видели, — тело, которое мы обозначим через D, и Е — векторное пространство над

Пусть R — кольцо и Е — произвольный -модуль. Мы будем говорить, что Е — точный модуль, если удовлетворяется следующее условие: соотношение для всех влечет . В приложениях Е будет векторным пространством над полем k, и мы будем иметь кольцевой гомоморфизм R в Тогда Е становится -модулем, точность которого имеет место тогда и только тогда, когда этот гомоморфизм инъективен.

Следствие 3 (Теорема Веддерберна). Пусть R — кольцо и Е—простой точный модуль над R. Предположим, что Е конечномерен над . Тогда .

Доказательство. Пусть - базис Е над D. Для заданного элемента в силу теоремы 1 существует элемент такой, что

Следовательно, отображение сюръективно. Предположение, что модуль Е — точный над R, влечет, что это отображение инъективно, и наше следствие доказано.