Доказательство. В силу предложения 6
Если
, то получаем слева 0, так что
ортогональны. Если
то получаем слева
, как мы знаем из следствия 2 предложения 6, в k. Следовательно,
Так как всякий элемент из
есть линейная комбинация простых характеров с целочисленными коэффициентами, то значения нашего билинейного отображения лежат в простом кольце. Утверждение о продолжении очевидно, и тем самым наша теорема доказана.
Предположим, что k имеет характеристику 0. Пусть
показатель группы
, и пусть R содержит корни
степени из единицы. Если R обладает автоморфизмом порядка 2, таким, что его действие на корни из единицы есть
мы будем называть такой автоморфизм сопряжением и обозначать его через а
Теорема 7. Пусть k имеет характеристику 0 и пусть R — подкольцо, содержащее корни
степени из единицы и обладающее сопряжением. Тогда определенная выше билинейная форма на
имеет единственное продолжение до эрмитовой формы
задаваемой формулой
Простые характеры образуют ортонормальный базис для
относительно этой формы.
Доказательство. В случае когда
лежат в
, указанная в формулировке теоремы формула дает для выражения
то же самое значение, что и раньше. Таким образом, продолжение существует, и, очевидно, единственное.
Возвратимся к случаю, когда k имеет произвольную характеристику, взаимно простую с n.
Пусть
обозначает аддитивную группу, порожденную классами сопряженных элементов
над простым кольцом. Она имеет размерность s. Определим билинейное отображение на
Если элемент
имеет коэффициенты в простом кольце, то мы обозначаем через
элемент
Предложение 7. Для
можно определить выражение
с помощью любого из следующих двух равных между собой выражений:
Значения этого выражения лежат в простом кольце.
Доказательство. Каждое из этих двух выражений линейно по обоим своим аргументам. Следовательно, чтобы доказать их равенство, достаточно доказать, что они совпадут, если мы заменим а на
элемент
из G. Но тогда наше равенство, рассматриваемое уже над
эквивалентно соотношению
Так как
за исключением
то мы видим, что правая часть равна
. Таким образом, два наших выражения равны в силу предложения 6. Тот факт, что их значения лежат в простом кольце, вытекает из предложения S: значения регулярного характера на элементах группы равны 0 или
и, следовательно, в случае характеристики 0 являются целыми числами, делящимися на
.
Как и в случае
мы будем использовать символ
для обозначения
-модуля, порожденного
над произвольным подкольцом R в
Лемма. Для всякого кольца R, содержащегося в k, спаривание из предложения 7 имеет единственное продолжение до отображения
которое
- линейно по своему первому аргументу. Если R содержит корни
степени из единицы, где
есть показатель для G, а также содержит
то
для всех I. Порядки классов
не делятся на характеристику поля k, и
Доказательство. Заметим, что
не делится на характеристику, будучи индексом некоторой подгруппы в G (группы изотропии любого элемента из
причем» О действует посредством сопряжения), и, следовательно,
делит
. Продолжение нашего спаривания очевидно, поскольку
образуют базис для
над простым кольцом.
Выражение
через этот базис есть только переформулировка предложения 6 в терминах рассматриваемого спаривания.
Пусть Е — свободный модуль над подкольцом R поля k. Предположим, что у нас имеется симметрическая (или эрмитова) форма
на Е. Пусть
- ортогональный базис для этого модуля. Если
где
то мы будем называть
коэффициентами Фурье элемента v относительно этого базиса. Через значения формы эти коэффициенты выражаются формулами
при условии, что
.
В следующей теореме мы покажем, что выражение для
через
является разложением Фурье.
Теорема 8. Классы сопряженных элементов
образуют ортогональный базис для
Имеет место соотношение
Для всякого кольца R, содержащегося в k, билинейное отображение из предложения 7 имеет единственное продолжение до
-билинейного отображения
Доказательство. Применим лемму. В силу линейности формула в лемме останется справедливой, если мы заменим R на
на любой элемент из
в частности, если мы заменим
на
Но
— базис
над k. Следовательно,
при
что и требовалось показать.
Следствие. Пусть группа G коммутативна. Тогда
Доказательство. Когда G коммутативна, всякий класс сопряженных элементов содержит точно один элемент и число простых характеров равно порядку группы.
Рассмотрим теперь для
случай характеристики 0, так же как мы это делали для X(G). Пусть k имеет характеристику 0 и R — подкольцо в k, содержащее корни
степени из единицы и обладающее сопряжением. Пусть
, где
. Положим
Теорема 9. Пусть k имеет характеристику 0, и пусть R — подкольцо в k, содержащее корни
степени из единицы и обладающее сопряжением. Тогда спаривание из предложения 7 обладает единственным продолжением до эрмитовой формы
задаваемой формулами
Классы сопряженных элементов
образуют ортогональный базис для
. Если R содержит
, то
лежат в R и также образуют ортогональный базис для
. При этом
Доказательство. В случае когда
лежат в
формула, приведенная в формулировке теоремы, дает те же самые значения, что и выражение
из предложения 7. Таким образом, продолжение существует и, очевидно, единственное. Используя вторую формулу, определяющую скалярное произведение, и вспоминая, что
при
мы видим, что
при
и
откуда и вытекает наше утверждение.
Отметим, что коэффициенты Фурье для
относительно базиса
одни и те же как по отношению к билинейной форме из теоремы 8, так и по отношению к эрмитовой форме из теоремы 9. Это следует из того факта, что
лежат в
и образуют базис для Z(G) над простым кольцом.