§ 5. Соотношения ортогональности

В этом параграфе мы будем предполагать, что поле k алгебраически замкнуто.

Пусть R — подкольцо в k. Мы обозначаем через порожденный над R характерами группы G. Это, таким образом, модуль функций, являющихся линейными комбинациями простых характеров с коэффициентами в R. Если - простое кольцо (т. е. кольцо целых чисел Z или кольцо целых чисел , когда k имеет характеристику ), то мы пишем вместо просто

Определим теперь некоторое билинейное отображение на . Для положим

Теорема 6. Выражение для принимает значения в простом кольце. Простые характеры образуют ортонормальный базис для , другими словами,

Для всякого кольца это выражение имеет единственное продолжение до -билинейной формы задаваемой той же самой формулой, что и выше.

Доказательство. В силу предложения 6

Если , то получаем слева 0, так что ортогональны. Если то получаем слева , как мы знаем из следствия 2 предложения 6, в k. Следовательно, Так как всякий элемент из есть линейная комбинация простых характеров с целочисленными коэффициентами, то значения нашего билинейного отображения лежат в простом кольце. Утверждение о продолжении очевидно, и тем самым наша теорема доказана.

Предположим, что k имеет характеристику 0. Пусть показатель группы , и пусть R содержит корни степени из единицы. Если R обладает автоморфизмом порядка 2, таким, что его действие на корни из единицы есть мы будем называть такой автоморфизм сопряжением и обозначать его через а

Теорема 7. Пусть k имеет характеристику 0 и пусть R — подкольцо, содержащее корни степени из единицы и обладающее сопряжением. Тогда определенная выше билинейная форма на имеет единственное продолжение до эрмитовой формы

задаваемой формулой

Простые характеры образуют ортонормальный базис для относительно этой формы.

Доказательство. В случае когда лежат в , указанная в формулировке теоремы формула дает для выражения то же самое значение, что и раньше. Таким образом, продолжение существует, и, очевидно, единственное.

Возвратимся к случаю, когда k имеет произвольную характеристику, взаимно простую с n.

Пусть обозначает аддитивную группу, порожденную классами сопряженных элементов над простым кольцом. Она имеет размерность s. Определим билинейное отображение на Если элемент имеет коэффициенты в простом кольце, то мы обозначаем через элемент

Предложение 7. Для можно определить выражение с помощью любого из следующих двух равных между собой выражений:

Значения этого выражения лежат в простом кольце.

Доказательство. Каждое из этих двух выражений линейно по обоим своим аргументам. Следовательно, чтобы доказать их равенство, достаточно доказать, что они совпадут, если мы заменим а на элемент из G. Но тогда наше равенство, рассматриваемое уже над эквивалентно соотношению

Так как за исключением то мы видим, что правая часть равна . Таким образом, два наших выражения равны в силу предложения 6. Тот факт, что их значения лежат в простом кольце, вытекает из предложения S: значения регулярного характера на элементах группы равны 0 или и, следовательно, в случае характеристики 0 являются целыми числами, делящимися на .

Как и в случае мы будем использовать символ для обозначения -модуля, порожденного над произвольным подкольцом R в

Лемма. Для всякого кольца R, содержащегося в k, спаривание из предложения 7 имеет единственное продолжение до отображения

которое - линейно по своему первому аргументу. Если R содержит корни степени из единицы, где есть показатель для G, а также содержит то для всех I. Порядки классов не делятся на характеристику поля k, и

Доказательство. Заметим, что не делится на характеристику, будучи индексом некоторой подгруппы в G (группы изотропии любого элемента из причем» О действует посредством сопряжения), и, следовательно, делит . Продолжение нашего спаривания очевидно, поскольку образуют базис для над простым кольцом.

Выражение через этот базис есть только переформулировка предложения 6 в терминах рассматриваемого спаривания.

Пусть Е — свободный модуль над подкольцом R поля k. Предположим, что у нас имеется симметрическая (или эрмитова) форма на Е. Пусть - ортогональный базис для этого модуля. Если

где то мы будем называть коэффициентами Фурье элемента v относительно этого базиса. Через значения формы эти коэффициенты выражаются формулами

при условии, что .

В следующей теореме мы покажем, что выражение для через является разложением Фурье.

Теорема 8. Классы сопряженных элементов образуют ортогональный базис для Имеет место соотношение Для всякого кольца R, содержащегося в k, билинейное отображение из предложения 7 имеет единственное продолжение до -билинейного отображения

Доказательство. Применим лемму. В силу линейности формула в лемме останется справедливой, если мы заменим R на на любой элемент из в частности, если мы заменим на Но — базис над k. Следовательно, при что и требовалось показать.

Следствие. Пусть группа G коммутативна. Тогда

Доказательство. Когда G коммутативна, всякий класс сопряженных элементов содержит точно один элемент и число простых характеров равно порядку группы.

Рассмотрим теперь для случай характеристики 0, так же как мы это делали для X(G). Пусть k имеет характеристику 0 и R — подкольцо в k, содержащее корни степени из единицы и обладающее сопряжением. Пусть , где . Положим

Теорема 9. Пусть k имеет характеристику 0, и пусть R — подкольцо в k, содержащее корни степени из единицы и обладающее сопряжением. Тогда спаривание из предложения 7 обладает единственным продолжением до эрмитовой формы

задаваемой формулами

Классы сопряженных элементов образуют ортогональный базис для . Если R содержит , то лежат в R и также образуют ортогональный базис для . При этом

Доказательство. В случае когда лежат в формула, приведенная в формулировке теоремы, дает те же самые значения, что и выражение из предложения 7. Таким образом, продолжение существует и, очевидно, единственное. Используя вторую формулу, определяющую скалярное произведение, и вспоминая, что при мы видим, что при и

откуда и вытекает наше утверждение.

Отметим, что коэффициенты Фурье для относительно базиса одни и те же как по отношению к билинейной форме из теоремы 8, так и по отношению к эрмитовой форме из теоремы 9. Это следует из того факта, что лежат в и образуют базис для Z(G) над простым кольцом.