§ 4. Алгоритм Евклида

Теорема 2. Пусть А — коммутативное кольцо, многочлены от одной переменной степени 0. Предположим, что старший коэффициент многочлена g является единицей в А. Тогда существуют однозначно определенные многочлены такие, что

Доказательство. Пусть

где так что — единица в А. Применим индукцию по .

Если , то положим . Если , то положим

Предположим, что теорема доказана для многочленов степени (где ). Мы можем предполагать, что (иначе возьмем ). Тогда

где имеет степень . По индукции мы можем найти такие, что

и .

Положим

чем доказательство существования и закончено.

Что касается единственности, то предположим, что

где . Тогда

Так как по предположению старший коэффициент g есть единица, то

Поскольку то предыдущее соотношение может выполняться только при и, следовательно, что и требовалось показать.

Теорема 3. Пусть k — поле. Тогда кольцо многочленов от одной переменной k [X] является целостным кольцом главных идеалов.

Доказательство. Пусть а — идеал в причем а Пусть g - элемент из а наименьшей степени 0 и -любой отличный от нуля элемент из а. Согласно алгоритму Евклида (т. е. по теореме 2) мы можем найти , такие, что

. Но следовательно, лежит в а. Так как g имеет минимальную степень , то значит, а состоит из всех многочленов вида . Это доказывает нашу теорему.

Следствие. Кольцо факториально.

Если k — поле, то всякий ненулевой элемент из k будет единицей в k и непосредственно видно, что единицы в — это просто единицы из k. (Никакой многочлен степени 1 не может быть единицей ввиду формулы сложения для степени произведения.)

Пусть А — коммутативное кольцо и — многочлен из Пусть А — подкольцо в В. Элемент называется корнем или нулем в В, если . Аналогично, если (X) — набор из переменных, то набор из элементов называется нулем если

Теорема 4. Пусть k — поле и - многочлен степени из от одной переменной X. Тогда имеет самое большее корней в k, и если а — корень в то f (X) делится на .

Доказательство. Предположим, что . Найдем , такие, что

и . Тогда

Поскольку либо 0, либо ненулевая константа, то мы должны иметь т. е. X — а делит Если — различные корни в k, то по индукции мы находим, что делится на произведение откуда как и утверждалось.

Следствие 1. Пусть k — поле, Т — бесконечное подмножество в k и — многочлен от одной переменной. Если для всех то иными словами, если f индуцирует нулевую функцию на Т, то — нулевой многочлен.

Следствие 2. Пусть k — поле, — бесконечные подмножества в k и — многочлен от переменных

Доказательство. По индукции. Мы только что убедились, что теорема справедлива для одной переменной. Пусть и 2; запишем

как многочлен от с коэффициентами в Если существует набор

такой, что для некоторого j, то

— ненулевой многочлен в принимающий значение 0 на бесконечном множестве элементов Но это невозможно. Следовательно, индуцирует нулевую функцию на Для всех j и по индукции мы имеем, что для всех j. Следовательно, что и требовалось показать.

Следствие 3. Пусть k — бесконечное поле и многочлен от переменных над k. Если f индуцирует нулевую функцию на то

Рассмотрим теперь случай конечных полей. Пусть k — конечное поле из q элементов и — многочлен от переменных над k. Запишем

Как мы условились говорить, одночлен встречается в если . Предположим, что это имеет место и что в нашем одночлене некоторая переменная встречается с показателем . Тогда мы можем написать

Если мы теперь заменим в этом одночлене на то получим новый многочлен, определяющий ту же самую функцию, что и Степень этого нового многочлена не больше, чем степень

Выполняя предыдущую операцию конечное число раз для всех одночленов, встречающихся в и всех переменных мы получим некоторый новый многочлен который определяет ту же самую функцию, что и но степень которого по каждой переменной

Теорема 5. Пусть - конечное поле из q элементов и — многочлен от переменных над k, такой, что степень по каждой переменной . Если индуцирует нулевую функцию на то

Доказательство. По индукции. Если , то и, следовательно, не может иметь q корней в случае . Индуктивный шаг проводится точно так же, как в доказательстве следствия 2.

Пусть — многочлен от переменных над конечным полем -Многочлен g, степень которого по каждой переменной будем называть редуцированным. Выше мы показали, что существует редуцированный многочлен который дает ту же самую функцию на что и Теорема S теперь показывает, что этот редуцированный многочлен единствен. Действительно, если — редуцированные многочлены, дающие одну и ту же функцию, то редуцирован и дает нулевую функцию. Следовательно,

Дадим еще одно приложение теоремы 4. Пусть k — поле. Под мультипликативной подгруппой в k мы будем понимать подгруппу группы k (ненулевых элементов ).

Теорема 6. Пусть k — поле. Всякая конечная мультипликативная подгруппа U в k циклическая.

Доказательство. Запишем U в виде произведения подгрупп для всех простых , где есть -группа. В силу упражнения из гл. 1 достаточно доказать, что циклическая для каждого . Пусть а — элемент из максимального периода где — некоторое целое число. Тогда для всех элементов и, следовательно, все элементы из являются корнями многочлена

Циклическая группа, порожденная а, содержит элементов. Если эта циклическая группа не совпадает с , то наш многочлен имеет более чем корней, что невозможно. Следовательно, а порождает , и наша теорема доказана.

Следствие. Если k — конечное поле, то группа — циклическая,

Элемент поля k, для которого существует такое целое число что называется корнем из единицы или, более точно, корнем степени из единицы. Таким образом, множество корней степени из единицы — это множество корней многочлена Существует самое большее таких корней, и они, очевидно, образуют группу, которая, согласно теореме 6, является циклической. Позднее мы изучим корни из единицы более подробно. Образующая группы корней степени из единицы (в том случае, если эта группа имеет порядок ) называется примитивным (или первообразным) корнем степени из единицы. Например, в поле комплексных чисел — примитивный корень степени из единицы, а все корни степени из единицы имеют вид где .