§ 2. Квадратичные отображения
Пусть R — коммутативное кольцо и Е, F — 
-модули. Как обычно, будем опускать приставку R. Напомним, что билинейное отображение 
называется симметрическим, если 
для всех 
Будем говорить, что F не имеет 
-кручения, если для всякого 
такого, что 
мы имеем 
(Это выполняется, если элемент 2 обратим в 
)
Пусть 
— некоторое отображение. Мы будем говорить, что 
квадратично (т. е. 
-квадратично), если существуют симметрическое билинейное отображение 
и линейное отображение 
такие, что для всех 
имеем
Предложение 3. Предположим, что F не имеет 
-круче-ния. Пусть 
— квадратичное отображение, выраженное, как выше, через симметрическое билинейное отображение g и линейное отображение h. Тогда g, h однозначно определяются отображением 
. Для всех 
имеем
Доказательство. Если мы вычислим 
то получим 
.
Если 
— симметрическое билинейное отображение, 
-линейное отображение и 
, то 
. Так как по предположению F не имеет 2-кручения, то отсюда вытекает, что 
для всех 
и, следовательно, g однозначно определено. Но тогда h определяется из соотношения
Мы будем называть g, h билинейным и линейным отображениями, ассоциированными с 
Для отображения 
определим
положив
Мы будем говорить, что 
— однородное квадратичное отображение, если оно квадратичное и если ассоциированное с ним линейное отображение равно 0. Мы будем говорить, что модуль F однозначно делим на 2, если для всякого 
существует единственный элемент 
такой, что 
(Это снова выполняется, если элемент 2 обратим в 
)
Предложение 4. Пусть 
— такое отображение, что 
билинейно, причем модуль F однозначно делим на 2. Тогда отображение 
- линейно. Если 
удовлетворяет условию 
, то 
— однородное квадратичное.
Доказательство. Очевидно.
Под квадратичной формой на Е понимают однородное квадратичное отображение 
со значениями в 
В дальнейшем мы в основном будем интересоваться симметрическими билинейными формами. Квадратичные формы будут играть второстепенную роль.
Рассматривая квадратичные формы в § 3—8, мы будем предполагать, что k — поле характеристики 
. В оставшейся части главы мы будем также предполагать, что все модули и векторные пространства конечномерны.
