§ 2. Квадратичные отображения

Пусть R — коммутативное кольцо и Е, F — -модули. Как обычно, будем опускать приставку R. Напомним, что билинейное отображение называется симметрическим, если для всех

Будем говорить, что F не имеет -кручения, если для всякого такого, что мы имеем (Это выполняется, если элемент 2 обратим в )

Пусть — некоторое отображение. Мы будем говорить, что квадратично (т. е. -квадратично), если существуют симметрическое билинейное отображение и линейное отображение такие, что для всех имеем

Предложение 3. Предположим, что F не имеет -круче-ния. Пусть — квадратичное отображение, выраженное, как выше, через симметрическое билинейное отображение g и линейное отображение h. Тогда g, h однозначно определяются отображением . Для всех имеем

Доказательство. Если мы вычислим то получим .

Если — симметрическое билинейное отображение, -линейное отображение и , то . Так как по предположению F не имеет 2-кручения, то отсюда вытекает, что для всех и, следовательно, g однозначно определено. Но тогда h определяется из соотношения

Мы будем называть g, h билинейным и линейным отображениями, ассоциированными с

Для отображения определим

положив

Мы будем говорить, что — однородное квадратичное отображение, если оно квадратичное и если ассоциированное с ним линейное отображение равно 0. Мы будем говорить, что модуль F однозначно делим на 2, если для всякого существует единственный элемент такой, что (Это снова выполняется, если элемент 2 обратим в )

Предложение 4. Пусть — такое отображение, что билинейно, причем модуль F однозначно делим на 2. Тогда отображение - линейно. Если удовлетворяет условию , то — однородное квадратичное.

Доказательство. Очевидно.

Под квадратичной формой на Е понимают однородное квадратичное отображение со значениями в

В дальнейшем мы в основном будем интересоваться симметрическими билинейными формами. Квадратичные формы будут играть второстепенную роль.

Рассматривая квадратичные формы в § 3—8, мы будем предполагать, что k — поле характеристики . В оставшейся части главы мы будем также предполагать, что все модули и векторные пространства конечномерны.