Глава VIII. Теория Галуа

§ 1. Расширения Галуа

Пусть К — поле и G — группа автоморфизмов поля К. Мы будем обозначать через подмножество в К, состоящее из всех элементов , таких, что для всех . Это подмножество называется неподвижным полем группы . Это действительно поле, поскольку из следует

для всех и аналогичным образом проверяется, что замкнуто относительно умножения, вычитания и деления. Кроме того, содержит 0 и 1 и, следовательно, содержит простое поле.

Алгебраическое расширение К поля k называется расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Мы будем считать К вложенным в некоторое алгебраическое замыкание. Группа автоморфизмов поля К над k называется группой Галуа поля К над k и обозначается символом или просто G. Она совпадает с множеством вложений поля К в К над

Для удобства читателя мы сформулируем теперь основной результат теории Галуа для конечных расширений Галуа.

Пусть К — конечное расширение Галуа поля k с группой Галуа G. Тогда между множеством подполей Е в К, содержащих k, и множеством подгрупп Н в G существует биективное соответствие, задаваемое формулой Поле Е будет расширением Галуа над k тогда и только тогда, когда подгруппа Н нормальна в G, и в этом случае отображение индуцирует изоморфизм факторгруппы на группу Галуа поля Е над

Мы дадим доказательства шаг за шагом, причем, насколько возможно, мы даем их для бесконечных расширений.

Теорема 1. Пусть К — расширение Галуа поля k, G — его группа Галуа. Тогда Если F — промежуточное поле, то К — расширение Галуа над F.

Отображение

множества промежуточных полей в множество подгрупп группы G инъективно.

Доказательство. Пусть и а — произвольное вложение поля в К, индуцирующее тождественное отображение на k. Продолжим а до вложения К в К, мы будем обозначать это продолжение по-прежнему через . Тогда а — автоморфизм поля К над k, следовательно, элемент группы G. По предположению а оставляет а неподвижным. Поэтому

Так как а сепарабелен над k, то имеем и а есть элемент k. Это доказывает наше первое утверждение.

Пусть F — промежуточное поле. Тогда К нормально над F в силу теоремы S и сепарабельно над F в силу теоремы 9 из гл. VII. Следовательно, К — расширение Галуа над F. Если то в силу доказанного выше заключаем, что Если F, F — промежуточные поля и то

Если то откуда вытекает, что отображение

ннъективно, что и доказывает нашу теорему.

Мы будем иногда называть группу над промежуточным нолем F группой, ассоциированной с F. Мы будем говорить также, что подгруппа Н в G принадлежит промежуточному полю F, если

Следствие I. Пусть - расширение Галуа с группой G. Пусть F, F — два промежуточных поля и И, Н — подгруппы , принадлежащие F, F соответственно. Тогда принадлежит полю

Доказательство. Всякий элемент из оставляет неподвижным, и всякий элемент из G, оставляющий неподвижным, оставляет неподвижным также F и F и, следовательно, лежит в . Это доказывает наше утверждение.

Следствие 2. (Обозначения те же, что и в следствии 1.) Неподвижное поле наименьшей подгруппы в G, содержащей есть

Доказательство. Очевидно.

Следствие 3. Пусть обозначения те же, что и в следствии 1. Тогда в том и только в том случае, если

Доказательство. Если оставляет F неподвижным, то оставляет неподвижным и F, так что а лежит в Н. Обратно, если то неподвижное поле группы Н содержится в неподвижном поле группы Н, так что .

Следствие 4. Пусть Е — конечное сепарабельное расширение поля k и К — наименьшее нормальное расширение поля k, содержащее Е. Тогда К — конечное расширение Галуа над k. Существует лишь конечное число промежуточных полей F, таких, что

Доказательство. Мы знаем, что К нормально и сепарабельно. Далее, К конечно над k, поскольку это, как мы видели, конечный композит конечного числа сопряженных с Е полей. Группа Галуа расширения имеет лишь конечное число подгрупп. Следовательно, существует лишь конечное число подполей в К, содержащих k, и тем более лишь конечное число подполей в Е, содержащих

Конечно, следствие 4 было уже доказано в предыдущей главе, но здесь мы получили другое доказательство с иной точки зрения.

Лемма 1. Пусть Е — алгебраическое сепарабельное расширение поля k. Предположим, что существует целое число , такое, что всякий элемент а из Е имеет степень над k. Тогда Е конечно над k и .

Доказательство. Пусть а — элемент из Е, для которого степень максимальна, скажем равна m я. Мы утверждаем, что . Если это не так, то существует элемент , такой, что и в силу теоремы о примитивном элементе найдется элемент , для которого Но из башни

мы видим, что откуда вытекает, что у имеет степень над противоречие.

Теорема 2 (Артин). Пусть К — поле и G — конечная группа автоморфизмов поля К, имеющая порядок п. Пусть — соответствующее неподвижное поле. Тогда К — конечное расширение Галуа над k и его группа Галуа есть G. Кроме того,

Доказательство. Пусть и пусть - такое максимальное множество элементов из G, что различны. Для всякого наборы отличаются лишь перестановкой, поскольку инъективно и каждый элемент содержится в множестве иначе это множество не было бы максимальным. Следовательно, а — корень многочлена

и для любого имеем Таким образом, коэффициенты многочлена лежат в Кроме того, сепарабелен. Следовательно, всякий элемент а из К есть корень сепарабельного многочлена степени с коэффициентами в k. Далее, этот многочлен разлагается на линейные множители в К. Таким образом, К сепарабельно над k, нормально над k и является поэтому расширением Галуа над k. В силу леммы 1 имеем Группа Галуа поля К над k имеет порядок (в силу теоремы 6 из гл. VII, § 4), и, следовательно, группа G должна быть полной группой Галуа. Этим доказаны все наши утверждения.

Следствие. Пусть К — конечное расширение Галуа поля k и G — его группа Галуа. Тогда всякая подгруппа в G принадлежит некоторому подполю F, такому, что

Доказательство. Пусть Н — подгруппа в . В силу теоремы Артина К—расширение Галуа над F с группой Н.

Замечание, Для бесконечных расширений Галуа К поля k предыдущее следствие уже перестает быть справедливым. Это показывает, что использование того или иного вычислительного соображения действительно необходимо в доказательстве для конечного случая. В настоящем изложении использовано старомодное рассуждение. Читатель может посмотреть собственное доказательство Артина в его книге «Теория Галуа». В бесконечном случае на группе Галуа G вводится топология Крулля (см. упражнения) и G превращается в компактную вполне несвязную группу. Подгруппы, принадлежащие промежуточным полям, — это замкнутые подгруппы. Если читатель желает полностью игнорировать бесконечный случай во всех наших рассмотрениях, он может это сделать без какого-либо ущерба для понимания. Доказательства для бесконечного случая обычно тождественны с доказательствами для конечного случая.

Понятия расширения Галуа и группы Галуа определяются чисто, алгебраически. Следовательно, их формальное поведение при изоморфизмах точно такое же, какого можно ожидать от объектов в любой категории. Мы опишем это поведение для рассматриваемого случая в более ясном виде.

Пусть К — расширение Галуа поля k и

— изоморфизм. Тогда К — расширение Галуа поля

Пусть G — группа Галуа поля К над k. Тогда отображение

определяет гомоморфизм G в группу Галуа поля над , обратный к которому задается правилом

Следовательно, группа изоморфна относительно предыдущего отображения. Мы можем записать это так:

или

где показатель X означает «сопряжение»

Контравариантности никак нельзя избежать, если мы хотим сохранить правило

для композиции отображений X и

Пусть, в частности, - промежуточное поле, - вложение F в К, предполагаемое продолженным до автоморфизма поля К. Тогда Следовательно,

и

Теорема 3. Пусть К — расширение Галуа поля k с группой G. Пусть F — подполе, Тогда для нормальности F над k необходимо и достаточно, чтобы подгруппа Н была нормальной в G. Если F нормально над k, то отображение ограничения будет гомоморфизмом G на группу Галуа поля F над k, ядро которого есть Н.

Таким образом .

Доказательство. Пусть F нормально над k и G — его группа Галуа. Отображение ограничения переводит и по определению его ядро есть Н. Следовательно, Н нормальна в G. Кроме того, любой элемент продолжается до вложения К в К, которое должно быть автоморфизмом поля К, так что отображение ограничения сюръективно. Это доказывает последнее утверждение. Наконец, предположим, что F не нормально над k. Тогда существует вложение к поля F в К над k, которое не является автоморфизмом, т. е. . Продолжим к до автоморфизма поля К над k. Группы Галуа сопряжены и, принадлежа разным подполям, не могут совпадать. Следовательно, подгруппа Н не нормальна в

Расширение Галуа К (к называется абелевым (соответственно циклическим), если его группа Галуа G абелева (соответственно циклическая).

Следствие. Пусть — абелево (соответственно циклическое) расширение. Если F — промежуточное поле, , то - расширение Галуа над k и притом абелево (соответственно циклическое).

Доказательство. Это вытекает немедленно из того факта, что всякая подгруппа абелевой группы нормальна и всякая факторгруппа абелевой (соответственно циклической) группы абелева (соответственно циклическая).

Теорема 4. Пусть К — расширение Галуа поля k, a F — произвольное расширение, причем К, -подполя некоторого другого поля. Тогда является расширением Галуа над F, а К — расширением Галуа над . Пусть Н — группа Галуа поля над F и -группа Галуа поля К над k. Если то ограничение о на К лежит в G и отображение

дает изоморфизм Н на группу Галуа поля К над

Доказательство. Пусть Ограничение а на К есть вложение поля К над k, следовательно, элемент группы G, поскольку К нормально над k. Отображение очевидно, является гомоморфизмом. Если тождественно, то а должно быть тождественно на KF (так как всякий элемент из может быть выражен как комбинация сумм, произведений и отношений элементов из К и F). Следовательно, наш гомоморфизм инъективен. Пусть Н — его образ.

Тогда Н оставляет неподвижным, и, обратно, если элемент неподвижен относительно Н, то а неподвижен и относительно Н, откуда . Поэтому — соответствующее неподвижное поле. Если К конечно над k или даже если конечно над F, то в силу теоремы 2 Н есть группа Галуа поля К над и теорема в этом случае доказана.

(В бесконечном случае нужно еще добавить замечание, что наше отображение непрерывно, откуда вытекает, что его образ замкнут, поскольку Н компактна.)

Следующая диаграмма иллюстрирует теорему 4:

Полезно мыслить себе противоположные стороны параллелограмма равными.

Следствие. Пусть К — конечное расширение Галуа и F — произвольное расширение поля k. Тогда делит .

Доказательство. Пусть обозначения те же, что и выше. Как мы знаем, порядок группы Н делит порядок группы G, откуда и вытекает наше утверждение.

Предостережение. Утверждение следствия, как правило, неверно, если К не является расширением Галуа над k. Например, пусть

— вещественный кубический корень из - кубический корень из 1, не равный 1, скажем

и пусть Рассмотрим . Так как — комплексная величина, а — вещественная, то Положим . Тогда будет подполем в Е, степень которого над Q делит число 3. Следовательно, эта степень есть 3 или 1 и, значит, должна быть равна 1, поскольку . Но

Следовательно, имеет степень 2 над

Теорема 5. Пусть расширения Галуа над полем k с группами Галуа соответственно. Предположим, что подполя некоторого поля. Тогда — расширение Галуа над k. Пусть G — его группа Галуа. Отобразим посредством ограничений, а именно

Это отображение инъективно. Если , то это отображение есть изоморфизм.

Доказательство. Нормальность и сепарабельность сохраняются при взятии композита двух полей, так что есть расширение Галуа над k. Наше отображение, очевидно, является гомоморфизмом G в . Если элемент индуцирует тождественные автоморфизмы на , то он индуцирует тождественный автоморфизм и на их композите, так что наше отображение инъективно. Предположим, что . Согласно теореме 4, для заданного элемента найдется элемент о из группы Галуа поля над индуцирующий на . Этот элемент о заведомо лежит в G и индуцирует тождественное отображение на -Следовательно, содержится в образе нашего гомоморфизма (где единичный элемент группы ). Аналогично содержится в этом образе. Следовательно, их произведение содержится в образе, а их произведение есть в точности . Это доказывает теорему 5.

Следствие 1. Пусть — расширения Галуа поля с группами Галуа . Предположим, что для каждого . Тогда группа Галуа композита естественным образом изоморфна произведению

Доказательство. Индукция.

Следствие 2. Пусть К — конечное расширение Галуа поля k с группой G, причем G может быть представлена в виде прямого произведения Пусть — неподвижное поле группы

где группа из одного элемента стоит на месте.

Тогда — расширение Галуа над k и . Кроме того,

Доказательство. В силу следствия 1 теоремы 1 композит всех принадлежит пересечению соответствующих групп, состоящему, очевидно, из единицы. Следовательно, композит равен К. Каждый прямой множитель группы G нормален в G, так что — расширение Галуа над k. В силу следствия 2 теоремы 1 пересечение нормальных расширений принадлежит произведению соответствующих им групп, откуда ясно, что .