§ 2. Условия, определяющие полупростоту

Пусть R — кольцо. Если специально не оговаривается противное, то все модули и все гомоморфизмы в этом параграфе предполагаются R-модулями и R-гомоморфизма

Следующие условия на модуль Е эквивалентны:

ПП 1. Е — сумма некоторого семейства простых подмодулей.

ПП 2. Е — прямая сумма некоторого семейства простых подмодулей.

ПП 3. Всякий подмодуль F в Е является прямым слагаемым т. е. существует подмодуль F, такой, что

Сейчас мы докажем это.

Лемма. Пусть — сумма (не обязательно прямая) простых подмодулей. Тогда существует подмножество , такое, что Е — прямая сумма

Доказательство. Пусть У — максимальное подмножество в I, такое, что сумма прямая. Мы утверждаем, что эта сумма в действительности равна Е. Достаточно доказать, что каждый содержится в этой сумме. Но пересечение нашей суммы с является подмодулем в и, следовательно, равно 0 или Если оно равно О, то подмножество У немаксимально, поскольку мы можем присоединить к нему i. Следовательно, содержится в сумме, и наша лемма доказана.

Лемма показывает, что ПП 1 влечет ПП 2. Чтобы убедиться что ПП 2 влечет ПП 3, возьмем подмодуль F и максимальное подмножество У в такое, что сумма — прямая. То же самое рассуждение, что и выше, показывает, что эта сумма равна Е.

Чтобы доказать, что ПП 3 влечет ПП 1, докажем сначала, что всякий ненулевой подмодуль в Е содержит некоторый простой подмодуль. Пусть -ненулевой подмодуль и Тогда по определению -главный подмодуль и ядро гомоморфизма

есть левый идеал . Следовательно, L содержится в максимальном левом идеале (в силу леммы Цорна). Тогда есть максимальный подмодуль в (не равный ) и, следовательно — максимальный подмодуль в не равный и соответствующий при изоморфизме

Мы можем записать для некоторого подмодуля М. Тогда поскольку всякий элемент может быть однозначно записан в виде суммы , где причем, очевидно, лежит в . Так как максимален в , то модуль простой, что и требовалось установить.

Пусть - подмодуль в Е, являющийся суммой всех простых подмодулей модуля Е. Если то где , а потому существует простой подмодуль в F вопреки определению . Это доказывает, что ПП 3 влечет

Модуль Е, удовлетворяющий нашим трем условиям, называется полупростым.

Предложение 3. Всякий подмодуль и всякий фактормодуль полупростого модуля полупросты.

Доказательство. Пусть F — подмодуль и - сумма всех простых подмодулей в F. Запишем Всякий элемент из F имеет единственное представление где Но Следовательно, F есть прямая сумма

Отсюда видно, что совпадает с F, который тем самым полупрост. Что касается фактормодуля, то запишем Тогда F есть сумма своих простых подмодулей и каноническое отображение индуцирует изоморфизм . Следовательно, модуль полупрост.