УПРАЖНЕНИЯ

Все кольца предполагаются коммутативными

1. Пусть А — кольцо с — его мультипликативное подмножество, не содержащее 0. Пусть, далее, — максимальный элемент в множестве идеалов кольца А, пересечение которых с S пусто. Показать, что — простой.

2. Пусть — сюръективный гомоморфизм колец. Показать, что если кольцо А — локальное, то и кольцо А — локальное.

3. Пусть А — кольцо и — простой идеал. Показать, что имеет единственный максимальный идеал, состоящий из всех элементов вида где

4. Пусть А — кольцо главных идеалов и S — его мультипликативное подмножество. Показать, что кольцо главных идеалов.

S. Пусть А — факториальное кольцо и S — его мультипликативное подмножество. Показать, что факториально и что простые элементы в — это те простые из А, для которых пусто.

6. Пусть А — кольцо главных идеалов, — ненулевые элементы из А и . Показать, что d — наибольший общий делитель

7. Пусть — простое число, А — кольцо ( — целое число ). Пусть — группа единиц в А, т. е. группа классов вычетов по модулю взаимно простых с модулем. Показать, что -циклическая, за исключением случая, когда

в этом случае она является группой типа .

[Указание: в общем случае показать, что G — произведение циклической группы, порожденной элементом , на циклическую группу порядка В исключительном случае показать, что G — произведение группы на циклическую группу, порожденную классом вычетов числа S по модулю

8. Пусть I — комплексное число . Показать, что Z -кольцо главных идеалов и, следовательно, факториально. Каковы в нем единицы?

9. Пусть А — кольцо целых функций на комплексной плоскости. Показать, что всякий конечно порожденный идеал в А является главным. Каковы главные простые идеалы в Каковы единицы в А? Показать, что А не факториально.