Глава XV. Представление одного эндоморфизма

§ 1. Представления

Пусть коммутативное кольцо и Е — модуль над Как обычно, мы обозначаем через кольцо -эндоморфизмов Е, т. е. кольцо -линейных отображений Е в себя.

Пусть R — некоторая -алгебра (задаваемая кольцевым гомоморфизмом который позволяет нам рассматривать R как -модуль). Под представлением R в Е понимают гомоморфизм -алгебр , т. е. кольцевой гомоморфизм , для которого коммутативна следующая диаграмма:

[Как обычно, мы рассматриваем как -алгебру; если обозначает тождественное отображение модуля Е, то имеем гомоморфизм кольца задаваемый отображением . Мы будем использовать также для обозначения единичной матрицы, когда выбраны базисы. Что мы имеем в виду, всегда будет ясно из контекста.)

Мы встретимся в дальнейшем с несколькими примерами представлений для различных типов колец (и коммутативных, и некоммутативных). В этой главе все кольца будут коммутативными.

Заметим, что Е можно рассматривать как (-модуль. Следовательно, Е можно рассматривать как -модуль, определив действие R на Е следующим образом:

где Мы будем обычно писать вместо

Подгруппа F в Е, такая, что будет называться инвариантным подмодулем в Е. (Она одновременно -инвариантна и -инвариантна.) Мы будем также говорить, что она инвариантна относительно данного представления.

Мы будем говорить, что представление неприводимо, или просто, если и если единственными инвариантными подмодулями являются 0 и Е.

Неприводимым (или простым) называется в этом случае и сам модуль Е.

Цель теории представлений состоит в том, чтобы описать структуру всех представлений различных интересных колец и классифицировать их неприводимые представления. В большинстве случаев мы будем брать в качестве k поле, которое может быть, а может и не быть алгебраически замкнутым. Трудности в доказательстве теорем о представлениях могут поэтому лежать в сложности или кольца R, или поля к, или модуля Е, или всех трех вместе.

Указанное выше представление называется вполне приводимым, или полупростым, если Е есть - прямая сумма - подмодулей

причем каждый неприводим. Мы также говорим, что Е вполне приводим. Неверно, что все представления вполне приводимы, и, например, те, которые мы будем рассматривать в этой главе, как правило, не будут такими. Некоторые типы вполне приводимых представлений будут изучены позже.

Имеется специальный тип представлений, который будет встречаться особенно часто. Пусть и пусть Мы пишем также Тогда мы говорим, что модуль Е — главный (над R) и что представление — главное. В этом случае множество элементов , для которых будет левым идеалом а в R (очевидно). Отображение R в Е, задаваемое правилом

индуцирует изоморфизм - модулей

рассматривается как левый модуль над собой и -как фактормодуль). При этом отображении единичному элементу 1 кольца R сопоставляется образующая v модуля Е.

Примем следующее соглашение: если то будем обозначать через подмодуль в Е, порожденный элементами

Пусть Е имеет некоторое разложение в прямую сумму -подмо-дулей

Предположим, что каждый свободен и имеет размерность 1 над k. Пусть — базисы над k для соответственно. Тогда есть базис для Е. Пусть эндоморфизмы, индуцированные на — матрица относительно базиса

Тогда матрица М эндоморфизма относительно принимает вид

Про матрицу такого типа говорят, что она разлагается на блока . При наличии такого разложения изучение эндоморфизма или его матрицы полностью сводится (так сказать) к изучению блоков.

Это случается далеко не всегда, однако часто имеет место нечто почти столь же хорошее. Пусть Е — подмодуль в Е, инвариантный относительно R. Предположим, что имеется базис Е над k, скажем и что этот базис может быть дополнен до базиса

Это всегда так, если k — поле.

Пусть . Тогда матрица эндоморфизма относительно этого базиса имеет вид

Действительно, так как Е отображается при в себя, то ясно, что мы получим в левом верхнем углу и нулевую матрицу под ним. Кроме того, для всякого мы можем записать

Транспонируя матрицу получаем матрицу

стоящую справа в матрице, представляющей

Рассмотрим, далее, точную последовательность

Пусть — образы при каноническом отображении Мы можем естественным образом определить линейное отображение

так чтобы для Тогда ясно, что матрицей для относительно базиса служит