§ 3. Алгебраические множества

Мы ограничимся несколькими самыми элементарными замечаниями об алгебраических множествах. Пусть k — поле, А — алгебраическое множество нулей в некотором фиксированном алгебраически замкнутом расширении этого поля. Множество всех многочленов таких, что для всех является, очевидно, идеалом а в и этот идеал определяется множеством А Мы будем называть его идеалом, принадлежащим А, или же говорить, что он ассоциирован с А. Если А — множество нулей множества многочленов S, то , причем а можег быгь больше, чем S. С другой стороны, заметим, что А есть также множество нулей идеала а.

Пусть А, В — алгебраические множества, а, b — их ассоциированные идеалы. Тогда ясно, что в том и только в том случае, если . Следовательно, в точности тогда, когда . Это приводит к важному следствию.

Поскольку кольцо многочленов нётерово, то алгебраические множества удовлетворяют дуальному свойству, а именно во всякой убывающей последовательности алгебраических множеств

обязательно для некоторого целого т. е. все равны при . Кроме того, по двойственности к другому свойству, характеризующему условие нётеровости, заключаем, что всякое непустое множество алгебраических множеств содержит минимальный элемент.

Теорема 3, Конечное объединение и конечное пересечение алгебраических множеств являются алгебраическими множествами. Если А, В — алгебраические множества нулей идеалов а, соответственно, то будет множеством нулей идеала - множеством нулей идеала

Доказательство. Рассмотрим сначала A U В. Пусть . Тогда есть нуль идеала Обратно, пусть — нуль идеала причем Тогда существует многочлен такой, что Но и, следовательно, для всех откуда для всех Следовательно, лежит в есть алгебраическое множество нулей идеала

Чтобы доказать, что — алгебраическое множество, возьмем Тогда будет нулем идеала Обратно, пусть нуль идеала Тогда, очевидно, , что и требовалось. Это доказывает нашу теорему,

Алгебраическое множество V называется - неприводимым, если оно не может быть представлено в виде объединения V — A U В алгебраических множеств А, В, где А, В отличны от V. Мы будем иногда говорить „неприводимое” вместо „k-неприводимое".

Теорема 4. Всякое алгебраическое множество А может быть представлено в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств

Если между нет включений, т. е. если при то это представление единственно.

Доказательство. Сначала докажем существование. Предположим, что множество алгебраических множеств, которые не могут быть представлены в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств, не пусто. Пусть V — минимальный элемент в нем. Тогда V не может быть неприводимым, и мы можем записать , где А, В — алгебраические множества, причем

Так как каждое из А, В строго меньше, чем V, то мы можем представить А, В в виде конечных объединений неприводимых алгебраических множеств, получив, таким образом, представление и для V, — противоречие.

Что касается единственности, то пусть

— два представления А в виде объединения неприводимых алгебраических множеств без включений. Каждое мы можем записать в виде

Так как множество алгебраическое, то для некоторого i. Следовательно, для некоторого I. Аналогично содержится в некотором Поскольку между нет включений, мы должны иметь Наше рассуждение может быть проведено для каждого и каждого Это доказывает, что каждое встречается среди и каждое — среди откуда и вытекает единственность представления.

В качестве упражнения докажите, что тогда и только тогда алгебраическое множество неприводимо, когда его ассоциированный идеал простой. Неприводимое алгебраическое множество обычно называют многообразием.

Понятие алгебраического множества может быть следующим образом обобщено на произвольные (коммутативные) кольца.

Пусть А—коммутативное кольцо. Под спектром мы будем понимать множество простых идеалов в А. Подмножество С в называется замкнутым, если существует идеал а кольца А, такой, что С состоит из всех простых идеалов , для которых астр. Дополнение к замкнутому подмножеству в называется открытым подмножеством в . Следующие утверждения легко проверяются, и их проверка предоставляется читателю.

Обьединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто.

Пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Объединение произвольного семейства открытых множеств открыто.

Пустое множество и все множество одновременно и открыты, и замкнуты.

Для всякого подмножества S в А множество простых идеалов , таких, что совпадает с множеством простых идеалов , содержащих идеал, порожденный

Пусть . Мы можем рассматривать множество простых идеалов из , содержащих как множество нулей элемента Действительно, это есть множество таких , для которых образом при каноническом гомоморфизме

служит 0.

Пусть А, В — кольца и гомоморфизм. Тогда индуцирует отображение

по правилу

Читатель тотчас проверит, что отображение непрерывно в том смысле, что если U — открытое множество в , то открыто в .

Мы можем рассматривать как функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Топология, которую мы определили выше на множества , называется топологией Зарисского.

Под точкой из в поле L понимается отображение

индуцированное некоторым гомоморфизмом - кольца А в

Например, каждому простому числу соответствует точка из , а именно точка, определяемая отображением редукции

Соответствующая точка задается обращенной стрелкой

В качестве другого примера рассмотрим кольцо многочленов над полем k. Для всякого -набора из имеем гомоморфизм

такой, что тождествен на k и для всех i. Соответствующая точка задается обращенной стрелкой

Таким образом, мы можем отождествлять точки из «-пространства с точками из (над k) в

Обобщением понятия алгебраического множества, определенного нами выше, служит понятие замкнутого множества. В качестве упражнения предлагается доказать следующее утверждение.

Теорема S. Пусть А — нётерово кольцо. Тогда всякое замкнутое множество С в может быть представлено как конечное объединение неприводимых замкнутых множеств, причем это представление единственно, если в объединении

неприводимых замкнутых множеств включений нет.

Разумеется, под неприводимым замкнутым множеством мы понимаем такое замкнутое множество, которое не может быть представлено в виде собственного объединения двух замкнутых множеств.