§ 7. Разрешимые и радикальные расширения

Конечное расширение (которое мы для удобства будем предполагать сепарабельным) называется разрешимым, если группа Галуа наименьшего расширения Галуа К над k, содержащего Е, является разрешимой группой. Это эквивалентно тому, что существует разрешимое расширение Галуа L поля k, такое, что . Действительно, имеем есть гомоморфный образ группы .

Предложение 2. Разрешимые расширения образуют отмеченный класс расширений.

Доказательство. Пусть разрешимо и F — поле, содержащее k, причем Е, F - подполя некоторого алгебраически замкнутого поля. Пусть К — разрешимое расширение Галуа над k и . Тогда будет расширением Галуа над F и — подгруппой в в силу теоремы 4 из § 1. Следовательно, разрешимо. Ясно, что подрасширение разрешимого расширения разрешимо. Пусть — башня с разрешимыми расширениями . Пусть К — конечное разрешимое расширение Галуа поля k, содержащее F. Как мы только что видели, ЕЩК разрешимо. Пусть L — разрешимое расширение Галуа поля К, содержащее ЕК. Если о — произвольное вложение L над k в заданное алгебраическое замыкание, то и, следовательно, — разрешимое расширение поля К. Пусть М — композит всех расширений для всех вложений а поля L над k. Тогда М — расширение Галуа над k, а следовательно, и над К. Группа Галуа поля М над К является подгруппой произведения

в силу теоремы 5 из § 1.

Следовательно, она разрешима. По теореме 3 из § 1 имеет место сюръективный гомоморфизм . Значит, группа Галуа расширения имеет разрешимую нормальную подгруппу, факторгруппа по которой разрешима. Поэтому она сама разрешима. Так как , то наше доказательство закончено.

Конечное расширение F поля k называется разрешимым в радикалах, если оно сепарабельно и если существует конечное расширение Е поля k, содержащее F и обладающее разложением в башню

таким, что каждый этаж принадлежит к одному из следующих типов:

(1) получается присоединением корня из единицы;

(2) получается присоединением корня многочлена , где и взаимно просто с характеристикой;

(3) получается присоединением корня уравнения , где — характеристика .

Сразу же видно, что класс расширений, разрешимых в радикалах, является отмеченным классом.

Теорема 12. Пусть Е — сепарабельное расширение поля k. Тогда Е разрешимо в радикалах в том и только в том случае, если разрешимо.

Доказательство. Предположим, что разрешимо. Пусть К—конечное разрешимое расширение Галуа поля k, содержащее Е; — произведение всех степеней простых чисел, не равных характеристике и делящих степень где — примитивный корень степени из единицы. Тогда абелево. Поднимем К над F. Тогда разрешимо над F. Между имеется башня подполей

такая, что каждый ее этаж — циклический простого порядка, поскольку всякая разрешимая группа обладает башней подгрупп такого типа, и мы можем применить теорему 3 из § 1. В силу теорем 10 и 11 заключаем, что KF разрешимо в радикалах над F и, следовательно, разрешимо в радикалах над k. Это доказывает, что разрешимо в радикалах.

Обратно, предположим, что разрешимо в радикалах. Для любого вложения а поля Е в Е над k расширение также разрешимо в радикалах.

Следовательно, наименьшее содержащее Е расширение Галуа К поля к, которое является композитом Е и его сопряженных, разрешимо в радикалах. Пусть — произведение всех степеней простых чисел, не равных характеристике и делящих степень . Положим снова , где - примитивный корень степени из единицы. Достаточно доказать, что разрешимо над F, поскольку отсюда будет вытекать, что разрешимо над k и, следовательно, группа являющаяся гомоморфным образом группы , разрешима. Но может быть разложено в башню расширений, каждый этаж которой имеет простую степень и принадлежит к типу, описанному в теоремах 10 и 11, причем соответствующие корни из единицы лежат в поле F. Следовательно, разрешимо, и наша теорема доказана.

Замечание. Можно было бы так видоизменить предыдущее изложение, чтобы не предполагать сепарабельности. Тогда нужно было бы иметь дело с нормальными расширениями вместо расширений Галуа и считать уравнения разрешимыми в радикалах, когда равно характеристике. При этом будет иметь место теорема, соответствующая теореме 12. Доказательства очевидны ввиду § 7 из гл. VII.