§ 5. Конечные поля

Мы получили достаточно общих теорем для того, чтобы описать строение конечных полей. Это интересно само по себе, а также дает примеры к общей теории.

Пусть F — конечное поле из q элементов. Как мы уже отмечали раньше, имеется гомоморфизм

переводящий 1 в 1, ядро которого не может быть 0, и, следовательно, является главным идеалом, порожденным простым числом , поскольку вкладывается в F, a F не имеет делителей 0.

Таким образом, F имеет характеристику и содержит поле, изоморфное

Заметим, что поле не имеет других автоморфизмов, кроме тождественного. Действительно, любой автоморфизм должен отображать 1 в 1 и, следовательно, оставляет каждый элемент на месте, так как 1 аддитивно порождает Будем отождествлять с его образом в F. Тогда F есть векторное пространство над причем это векторное пространство должно быть конечномерным, поскольку F конечно. Пусть его размерность будет , и пусть — базис для F над Всякий элемент из F имеет единственное представление в виде

где Следовательно,

Мультипликативная группа F поля F имеет порядок Всякий элемент удовлетворяет уравнению Следовательно, всякий элемент из F удовлетворяет уравнению

Это означает, что многочлен имеет q различных корней в F, а именно все элементы из F. Следовательно, разлагается в F на множители степени 1, а именно

В частности, F есть поле разложения для Но поле разложения однозначно определено с точностью до изоморфизма. Следовательно, если конечное поле порядка существует, то оно однозначно определено с точностью до изоморфизма как поле разложения многочлена над

Для краткости будем обозначать также через Пусть — целое число 1. Рассмотрим поле разложения многочлена

в алгебраическом замыкании . Мы утверждаем, что это поле разложения совпадает с множеством корней многочлена . Действительно, пусть — корни. Тогда

откуда — корень. Точно так же

и, значит, — корень.

Отметим, что 0, 1 — корни f (X). Если , то

так что — корень. Наконец,

Если нечетно, то и мы видим, что — корень. Если четно, то и, следовательно, — корень. Это доказывает наше утверждение.

Производная многочлена равна

Следовательно, нет кратных корней, и, значит, он имеет различных корней в Таким образом, его поле разложения содержит ровно элементов. Суммируем наши результаты.

Теорема 10. Для всякого простого числа и всякого целого числа существует поле порядка обозначаемое символом однозначно определенное как подполе в алгебраическом замыкании . Это поле разложения многочлена

и его элементы — корни этого многочлена. Всякое конечное поле изоморфно одному и только одному из полей .

Мы обычно полагаем и пишем вместо

Следствие. Пусть — конечное поле и — целое число . В данном алгебраическом замыкании существует одно и только одно расширение поля степени , и этим расширением является поле .

Доказательство. Пусть Тогда Поле разложения многочлена есть в точности F ли и имеет степень над Так как имеет степень над то F имеет степень над Обратно, любое расширение степени над имеет степень над и, следовательно, должно совпадать с Это доказывает наше следствие.

Теорема 11. Мультипликативная группа конечного поля — циклическая.

Доказательство. Это уже было доказано в гл. V, § 4, теорема 6.

Опишем все автоморфизмы конечного поля.

Пусть и - конечное поле из q элементов. Рассмотрим отображение Фробениуса

такое, что . Очевидно, — гомоморфизм и его ядро равно G, поскольку — поле. Следовательно, инъективно. Так как F конечно, то отсюда вытекает, что сюръективно и что, следовательно, — изоморфизм. Отметим, что он оставляет неподвижным.

Теорема 12. Группа автоморфизмов поля является циклической группой порядка с образующей

Доказательство. Пусть - группа, порожденная Заметим, что поскольку для всех Следовательно, — показатель для . Пусть -период так что . Имеем для всех Следовательно, всякий элемент является корнем уравнения

Это уравнение имеет самое большее корней. Следовательно, откуда

Остается доказать, что G совпадает с группой всех автоморфизмов поля . Любой автоморфизм поля должен оставлять на месте, т. е. являться автоморфизмом над . В силу теоремы 6 из § 4 число таких автоморфизмов . Следовательно, не может иметь никаких других автоморфизмов, кроме тех, что содержатся в

Теорема 13. Пусть — целые числа 1. Поле содержится в тогда и только тогда, когда делится на . Если это так, то положим . Тогда нормально и сепарабельно над и группа автоморфизмов поля над есть циклическая группа, порожденная отображением

Доказательство. Все утверждения теоремы являются тривиальными следствиями уже доказанного выше, и их проверка предоставляется читателю.