§ 3. Конечные расширения

В этом параграфе мы будем иметь дело с полем К, снабженным нетривиальным абсолютным значением

Мы хотим описать, как это абсолютное значение продолжается на конечные расширения поля К. Если Е — расширение над К и w — некоторое абсолютное значение на Е, продолжающее v, то будем писать

Мы знаем, что v может быть продолжено на пополнение а затем однозначно продолжено на его алгебраическое замыкание Если Е—конечное расширение К или даже произвольное алгебраическое расширение, то мы можем продолжить v на Е, вложив Е в посредством изоморфизма над К и взяв индуцированное абсолютное значение на Е. Мы докажем теперь, что всякое продолжение v может быть получено этим способом.

Предложение 6. Пусть Е — конечное расширение поля К, w — некоторое абсолютное значение на Е. продолжающее — соответствующее пополнение и — замыкание К в причем Е отождествлено с подполем в Тогда (композит).

Доказательство. Заметим, что является пополнением К и что композит конечен над а потому, согласно предложению 4, § 2, является полным полем. Так как он содержит Е, то Е плотно в нем и, следовательно,

Если мы начинаем с вложения о: (относительно которого всегда предполагается, что оно берется над К), то снова в силу предложения 4 § 2 поле — полное. Таким образом, эта конструкция и конструкция из предложения 6 по существу совпадают с точностью до изоморфизма. В дальнейшем мы примем точку зрения вложений. Теперь мы должны определить, когда два вложения дают нам одно и то же абсолютное значение на Е.

Пусть даны два вложения мы будем говорить, что они сопряжены над если существует автоморфизм X поля над для которого Мы видим, что в действительности нам достаточно знать действие к на

Предложение 7. Пусть Е — алгебраическое расширение К. Два вложения тогда и только тогда приводят к одному и тому же абсолютному значению на Е, когда они сопряжены над

Доказательство. Предположим, что они сопряжены над Тогда единственность продолжения абсолютного значения с на гарантирует, что индуцированные абсолютные значения на Е равны. Обратно, предположим, что они равны. Пусть — изоморфизм над К. Покажем, что X продолжается до изоморфизма на над Так как плотно в то всякий элемент может быть записан в виде

где . Поскольку абсолютные значения, индуцированные вложениями на Е, совпадают, последовательность Хххп сходится к некоторому элементу из который мы обозначим через . Непосредственно проверяется, что не зависит от специального выбора последовательности и что есть изоморфизм, который, очевидно, оставляет поле неподвижным. Это доказывает наше предложение.

Ввиду двух предыдущих предложений при заданном продолжении w абсолютного значения v на конечное расширение Е поля К мы можем отождествлять с композитом полей Е и . Если степень конечна, то мы будем называть

локальной степенью.

Предложение 8. Пусть Е — конечное сепарабельное расширение над К степени N. Тогда

Доказательство. Как известно, для какого-то элемента а. Пусть (-его неприводимый многочлен над . Тогда над мы имеем разложение

на неприводимые множители . В силу нашего предположения о сепарабельности все они встречаются с кратностью 1. Вложения Е в соответствуют отображениям а в корни многочленов Два вложения сопряжены тогда и только тогда, когда они отображают а в корни одного и того же многочлена . С другой стороны, ясьо, что локальная степень в каждом случае есть в точности степень . Это доказывает наше предложение.

Предложение 9. Пусть Е — конечное расширение над АГ. Тогда

Если Е чисто несепарабельно над К, то существует только одно абсолютное значение w на Е, продолжающее

Доказательство. Сначала докажем второе утверждение. Если Е чисто несепарабельно над К и — его несепарабельная степень, то для всякого а из Е. Следовательно, v имеет единственное продолжение на Е. Рассмотрим теперь общий случай конечного расширения и положим . Тогда F сепарабельно над чисто несепарабельно над F. В силу предыдущего предложения

и для каждого w будет После этого неравенство, фигурирующее в формулировке предложения, становится очевидным.

Если v — такое абсолютное значение на , что для всякого конечного расширения Е поля имеет место равенство то мы будем говорить, что v хорошо себя ведет.

Рассмотрим башню конечных расширений Пусть w про-Гегаег все абсолютные значения на Е, продолжающие v, а и — все абсолютные значения на L, продолжающие v.

Если , то содержит . Таким образом,

Отсюда мы непосредственно видим, что если v хорошо себя ведет, Е — конечное расширение над К и w продолжает v на Е, то w также хорошо себя ведет (мы должны всюду иметь равенство).

Пусть Е — конечное расширение — его несепарабельная степень. Напомним, что норма элемента задается формулой

где а пробегает все различные изоморфизмы Е над К (в заданное алгебраическое замыкание).

Если w — абсолютное значение, продолжающее v на Е, то норма из будет называться локальной нормой.

Заменив выше произведение на сумму, получим след и локальный след. Мы обозначаем след сокращенно символом

Предложение 10. Пусть Е — конечное расширение К, и пусть v хорошо себя ведет. Тогда

для любого

Доказательство. Предположим сначала, что и пусть неприводимый многочлен элемента а над К. Разложив f (X) на неприводимые множители над получим

где каждый неприводим и все различны ввиду нашего предположения, что v хорошо себя ведет. Норма равна свободному члену умноженному на и аналогично для каждого Поскольку свободный член равен произведению свободных членов получаем первую часть предложения. Утверждение для следа вытекает из рассмотрения предпоследнего коэффициента у и каждого

Если Е не равно , то мы просто используем транзитивность нормы и следа. Детали предоставляются читателю.

Можно оперировать и непосредственно с вложениями. Пусть различные вложения Е в над — несепарабельная степень Е над К. Несепарабельная степень композита над для всякого а не превосходит . Если мы разобьем на различные классы сопряженности над то из предположения, что v хорошо себя ведет, немедленно следует, что несепарабельная степень над для каждого должна быть также равна . Таким образом, формула, выражающая норму в виде произведения сопряженных с кратностью распадается в произведение множителей, соответствующих классам сопряженности над

Принимая во внимание предложение 5 из § 2, мы получаем

Предложение 11. Пусть К снабжено хорошо себя ведущим абсолютным значением V. Пусть, далее, Е — конечное расширение над К и

для всякого абсолютного значения w на Е, продолжающего v. Тогда

для любого а