Глава V. Многочлены

§ 1. Свободные алгебры

Пусть А — коммутативное кольцо. А-алгебра (или алгебра над - это модуль Е вместе с билинейным отображением . Во всей этой книге мы, если не оговорено противное, будем иметь дело только со следующим специальным типом алгебр. Пусть гомоморфизм колец, такой, что f(А) содержится в центре В, т. е. коммутирует с любым элементом из В для всякого . Тогда мы можем рассматривать В как А-модуль, определив действие А на В посредством отображения

для всех . Аксиомы модуля тривиальным образом удовлетворяются, и мультипликативный закон композиции , очевидно, билинеен (т. е. Л-билинеен), Так вот, если не оговорено противное, то под алгеброй над Л мы будем всегда понимать указанный выше гомоморфизм колец. Мы говорим, что алгебра является конечно порожденной, если В как кольцо над конечно порождено.

Пусть G — мультипликативный моноид и А — коммутативное кольцо. Пусть — категория, объектами которой являются тройки , где есть А-алгебра и В — гомоморфизм мультипликативных моноидов. Если — другой объект в то морфизм из в категории — это кольцевой гомоморфизм , для которого коммутативна следующая диаграмма:

Универсальный (отталкивающий) объект в называется свободной -алгеброй, или свободной -алгеброй над А. Построим такую алгебру в явном виде.

Пусть множество всех отображений , таких, что для почти всех . Определяем сложение в как обычное сложение отображений в абелеву (аддитивную) группу. Если , то их произведение определяем формулой

Сумма берется по всем таким парам что . Эта сумма в действительности конечна, поскольку имеется лишь конечное число пар элементов для которых . Мы видим также, что для почти всех t и, следовательно, принадлежит нашему множеству

Аксиомы кольца тривиально проверяются. В качестве примера приведем доказательство ассоциативности. Пусть . Тогда

причем последняя сумма берется по всем тройкам (a, v, у), произведение которых равно t. Эта последняя сумма симметрична, и если бы мы вычислили то получили бы снова эту сумму. Это доказывает ассоциативность.

Единичным элементом в служит функция 6, такая, что для всех . Тривиально проверяется, что для всех .

Введем теперь другие обозначения, которые сделают структуру более ясной. Пусть Мы будем обозначать через а (а иногда также через ) функцию, значение которой в равно а, а в у равно 0, если у Тогда любой элемент может быть записан в виде суммы

Действительно, если семейство элементов из А, почти все из которых равны 0, и мы положим

то для любого будем иметь (непосредственно из определений). Это также показывает, что любой данный элемент а допускает единственное представление в виде суммы

Имеется естественный способ превратить в А-модуль.

Если и элемент записан в виде суммы то полагаем равным элементу Ясно, что все аксиомы модуля удовлетворяются и что множество элементов образует базис над А.

В наших нынешних обозначениях умножение и сложение могут быть записаны соответственно следующим образом:

— именно так, как нам хотелось бы. Отметим, что единичный элемент в — это просто .

Пусть — отображение, задаваемое формулой Непосредственно проверяется, что отображение -гомоморфизм мультипликативных моноидов и что оно на самом деле инъективно, т. е. является вложением.

Пусть отображение, задаваемое формулой

Непосредственно проверяется, что -гомоморфизм колец, также являющийся вложением. Таким образом, мы превратили в А-алгебру, и сразу видно, что структура А-модуля на как на А-алгебре, совпадает с той, которая была описана выше.

Тройка есть свободная -алгебра. Это утверждение является частным случаем следующего предложения.

Предложение 1. Пусть — некоторая А-алгебра и G — мультипликативный подмоноид в В. Предположим, что G образует базис для В как модуля над А. Для всякой А-ал-гебры и любого гомоморфизма моноидов существует единственный гомоморфизм колец для которого диаграмма

коммутативна и ограничение h на G равно

Доказательство. Для каждых пишем а вместо Всякий элемент имеет единственное представление в виде суммы

поскольку G — базис для В над А.

Как мы видели при рассмотрении базисов модулей, существует единственный гомоморфизм модулей , ограничение которого на G равно а именно такое отображение, для которого

Кроме того, если

то

и

Так как ограничение на G отображения h равно , то . Следовательно, h является также гомоморфизмом колец. Отсюда вытекает коммутативность нашей диаграммы. Предложение доказано.

Чтобы вывести из предложения 1, что — свободная -алгебра, надо положить и отождествить G с его образом в при вложении

Начиная с этого момента мы будем, не опасаясь путаницы, писать вместо . Мы будет называть моноидной алгеброй моноида Q над А. Отображения называются каноническими.

В следующем параграфе мы в качестве частного случая получим алгебру многочленов. Для случая когда G — группа, групповая алгебра будет более детально рассмотрена в этой книге позднее.

Наша моноидная алгебра обладает еще одним свойством универсальности.

Предложение 2. Пусть — гомоморфизм моноидов и — гомоморфизм колец, причем оба кольца А, А коммутативны. Тогда существует единственный гомоморфизм колец

для которого коммутативна диаграмма

(Вертикальные отображения — канонические.)

Доказательство. Это прямое следствие предложения 1: положим рассмотрим гомоморфизмы

и применим к ним предложение 1.