УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть Е — векторное пространство над полем k и g — билинейная форма на Е. Предположим, что всякий раз, когда для какой-нибудь пары . Показать, что g либо симметрическая, либо знакопеременная.

2. Указать явно, каким образом гомоморфно отображается на

3. Показать, что группа может быть представлена в виде гомоморфного образа [Указание: использовать существование ортогонального базиса.]

4. Пусть Е — модуль над Z свободный, размерности и пусть — билинейная знакопеременная форма на Е. Показать, что существуют базис и целое число , такие, что

где и делит для и, наконец, для всех других пар индексов . Показать, что идеалы однозначно определены. [Указание: взять гомоморфизм модуля Е в дуальный модуль над Z и рассмотреть как свободный подмодуль Обобщить на кольца главных идеалов, когда вы узнаете основную теорему для модулей над этими кольцами.

S. Пусть Е — конечномерное пространство над R, g — симметрическая положительно определенная форма на Е, А — симметрический относительно g эндоморфизм пространства Е. По определению означает, что для всех Показать, что в том и только в том случае, если все собственные значения А не меньше 0.

6. Доказать все свойства пфаффиана, сформулированные в „Геометрической алгебре", стр. 142.

7. Теорема Витта справедлива и для знакопеременных форм. Доказать (или прочитать у Артина или Бурбаки).

8. Показать, что пфаффиан знакопеременной матрицы размера пуп равен 0, если нечетно.

9. Дать определение отображений степени из одного модуля в другой. [Указание: для степени 3 рассмотреть выражение

Обобщить на отображения высших степеней утверждение, доказанное для квадратичных отображений (т. е. единственность различных полилинейных отображений, входящих в их определения).

10. (а) Пусть Е — конечномерное пространство над полем комплексных чисел и — эрмитова форма

где принимают вещественные значения. Показать, что — - билинейные формы: g — симметрическая и — знакопеременная.

(б) Пусть Е — конечномерное пространство над — -билинейная форма. Предположим, что для всех отображение линейно и что -билинейная форма

вещественнозначна на . Показать, что на Е существуют эрмитова форма h и симметрическая С-билинейная форма такие, что Показать, что h и однозначно определены.

11. Показать, что в условиях эрмитовой спектральной теоремы Е обладает разложением в прямую сумму над таким, что Е изоморфно комплексной оболочке F и А индуцирует линейное симметрическое отображение на

12. Пусть Е — конечномерное пространство над полем комплексных чисел с положительно определенной эрмитовой формой, S — некоторое множество (С-линейных) эндоморфизмов Е, не обладающее другими инвариантными подпространствами, кроме 0 и Е (это означает, что если F — подпространство в для всех то или F — Е). Пусть А — эрмитово отображение Е в себя, такое, что для всех . Показать, что для некоторого вещественного числа k. [Указание: показать, что у А имеется точно одно собственное значение. Если бы было два собственных значения, скажем то можно было бы найти два многочлена и g с вещественными коэффициентами, для которых , но . Взять в качестве F ядро эндоморфизма g (А) и получить противоречие.]

13. Пусть Е обозначает то же, что и в упражнении 12, Т — С-линейное отображение Е в себя и

Показать, что А эрмитово. Показать, что Т можно записать в виде где А, В эрмитовы и однозначно определены.

14. Пусть S — коммутативное множество С - линейных эндоморфизмов конечномерного пространства Е, не имеющее инвариантного подпространства, отличного от 0 или Е. Предположим, что как только Показать, что всякий элемент из S имеет вид для некоторого комплексного числа а и, следовательно, Е одномерно. [Указание: пусть Положим

Показать, что для некоторого вещественного

15. Эндоморфизм В пространства Е называется нормальным, если В коммутирует с В. Сформулировать и доказать спектральную теорему для нормальных эндоморфизмов.

16. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, ( - симметрическая положительно определенная форма на Е, Q — невырожденная знакопеременная форма на Е. Показать, что существует разложение в прямую сумму

обладающее следующим свойством. Если элементы записаны в виде

то [Указание: использовать следствие 2 из теоремы 6. Показать, что эндоморфизм А — положительно определенный (см. упражнение 18), взять квадратный корень из А и преобразовать при его помощи прямое разложение, полученное в этом следствии.]

17. Пусть — векторное пространство над полем вещественных чисел (как обычно, конечномерное). Для всякого эндоморфизма А пространства Е примем за его норму наибольшую нижнюю грань всех чисел С. для которых Показать, что эта норма удовлетворяет неравенству треугольника. Показать, что ряд

Показать, что если А достаточно близок к то ряд

сходится, и если А коммутирует с В, то

18. Пусть пространство Е обладает фиксированной положительно определенной симметрической билинейной формой. Мы будем называть Е гильбертовым пространством (конечномерным). Линейный автоморфизм А пространства Е называется гильбертовым, если он является автоморфизмом формы, т. е. . В настоящих упражнениях мы будем писать А вместо 1 А. Пусть А — симметрический эндоморфизм на Е. Мы будем говорить, что А — положительно определенный, если для всех .

Доказать: если А — симметрический (соответственно знакопеременный), то — симметрический положительно определенный (соответственно гильбертов). Если А — линейный автоморфизм, достаточно близкий к и являющийся симметрическим положительно определенным (соответственно гильбертовым), то — симметрический (соответственно знакопеременный).

19. Используя спектральную теорему, показать, что можно определить, когда А — симметрический положительно определенный, не обязательно близкий к Показать, что любой автоморфизм А пространства Е может быть записан единственным образом в виде произведения где Н — гильбертов, а Р — симметрический положительно определенный. [Указание: заметить, что АА — симметрический положительно определенный, и взять где квадратный корень находится с помощью спектральной теоремы. Положив получить существование искомого произведения. Для единственности предположить, что , и положить Тогда используя равенства заключить, что Взять разделить на 2 и, взяв заключить, что

20. (Тейт) Пусть Е, F — полные нормированные векторные пространства под полем вещественных чисел и — отображение, обладающее следующим свойством. Существует число С, такое, что для всех имеем

Показать, что существует единственное линейное отображение для которого норма ограничена (т. е. ) ограничена как функция от Обобщить на билинейный случай. [Указание: положить