§ 6. Дуальное пространство

Пусть V — векторное пространство над полем К. Будем рассматривать К как -мерное пространство над собой. Под дуальным пространством V к V мы будем понимать пространство . Его элементы называются функционалами. Таким образом, функционал на V — это - линейное отображение Если то иногда обозначают через Фиксируя мы видим, что выражение рассматриваемое как функция от -линейно по своему второму аргументу и, таким образом, индуцирует линейный функционал на V, равный 0 в том и только в том случае, если Следовательно, мы получаем вложение которое не всегда сюръективно.

Пусть базис в V. Для каждого обозначим через однозначно определенный функционал, для которого — другими словами, если если Такое линейное отображение существует в силу общих свойств базисов (теорема 1 из § 4).

Теорема S. Пусть - векторное пространство конечной размерности над полем К. Тогда Если — базис для V и — функционал, для которого то -базис для V.

Доказательство. Пусть , и пусть Имеем

Следовательно, и мы видим, что порождают У. Кроме того, они линейно независимы, так как если

, то, беря значение левой части на получаем

откуда для всех I. Это доказывает нашу теорему.

Следствие. Если, пространство V конечномерно, то отображение сопоставляющее каждому функционал на V, является изоморфизмом V на V.

Доказательство. Это отображение — инъективный гомоморфизм. Поэтому его образ будет подпространством в V размерности и, следовательно, должен совпадать со всем V.

Для данного базиса базис определенный в формулировке теоремы, называется дуальным базисом. Пользуясь этими базисами, мы можем представить любой элемент А из V посредством координат и любой элемент В из V посредством координат так что

Отсюда мы видим, что

есть обычное скалярное произведение наборов из чисел.

Пусть V — векторное пространство над полем К, и пусть

— точная последовательность К - линейных отображений. Мы утверждаем, что индуцированная последовательность

т. е. последовательность

также точна.

Точность во всех членах, кроме крайнего левого, есть общий факт, не связанный со спецификой векторных пространств и справедливый для произвольных модулей (см. § 2). Существенным моментом здесь является доказательство сюръективности отображения V в W. Чтобы установить ее, рассмотрим произвольный функционал g на W. Существует подпространство Т в V, такое, что

есть прямая сумма.

Фактически мы можем рассматривать W как подпространство в V, поскольку к — вложение. Любой элемент из V имеет единственное представление в виде суммы , где и Определим функционал на V, положив для всех . Тогда ограничение на совпадает с g. Это и означает, что левое отображение в индуцированной последовательности сюръективно.

Пусть V и V — два векторных пространства. Предположим, что нам задано отображение

записываемое так:

. Мы называем это отображение билинейным, если для каждого функция линейна и аналогично для каждого функция линейна. Элемент называется ортогональным (или перпендикулярным) подмножеству S в V, если для всех Аналогично определяется ортогональность элемента из V подмножеству из V. Очевидно, что множество всех ортогональных к S, есть подпространство в V.

Определяем ядро слева билинейного отображения как подпространство в V, ортогональное к V; аналогично определяется ядро справа.

Пусть W — ядро справа и W — ядро слева данного билинейного отображения

и пусть — некоторый элемент из V. Тогда определяет функционал на V по правилу и этот функционал, очевидно, зависит только от смежного класса по модулю другими словами, если то функционалы равны. Следовательно, имеет место гомоморфизм

ядро которого по определению есть точно W, откуда получаем инъективный гомоморфизм

Так как все функционалы, соответствующие элементам V, обращаются в нуль на W, то мы можем рассматривать их как функционалы на т. е. как элементы из Таким образом, в действительности мы получаем инъективный гомоморфизм

Можно было бы дать специальное название гомоморфизму

для которого

при всех Однако удобнее изображать этот гомоморфизм с помощью стрелок и называть индуцированным отображением, или естественным отображением. Давать ему особое имя — значило бы стремиться к излишнему утяжелению терминологии.

Теорема 6. Пусть — билинейное отображение, W, W — его ядра слева и справа соответственно, и пусть конечномерно. Тогда индуцированный гомоморфизм является изоморфизмом.

Доказательство. В силу симметрии имеет место индуцированный гомоморфизм

являющийся инъективным. Так как

то отсюда следует, что конечномерно. Из инъективности предыдущего гомоморфизма и ему аналогичного, а именно вытекают неравенства

и

откуда следует, что эти размерности равны. Таким образом, наши гомоморфизмы сюръективны и обратны друг другу, что и доказывает теорему.