§ 9. Уравнение X^n - a = 0

Когда корни из единицы не содержатся в основном поле, уравнение по-прежнему представляет интерес, но требует более деликатного обращения.

Теорема 16. Пусть — поле, — целое число 2 и , причем для всех простых чисел , делящих , и если . Тогда многочлен неприводим в

Доказательство. Наше первое предположение означает, что а не является степенью в k. По индукции мы сведем нашу теорему к случаю, когда — степень простого числа.

Запишем , где взаимно просто и нечетно. Пусть

— разложение на линейные множители и, скажем, Подставляя вместо X, получаем

По индукции можно считать, что неприводим в Мы утверждаем, что а не является степенью в . Действительно, лусть и N — норма из в k. Тогда

Если нечетно, то а будет степенью, что невозможно. Аналогично, если четно (а нечетно), мы также получаем противоречие. Это доказывает наше утверждение, поскольку взаимно просто с . Считая теорему известной для степеней простых чисел, заключаем, что многочлен неприводим над Если А — корень многочлена , то — башня, нижний этаж которой имеет степень , а верхний — степень . Отсюда вытекает, что А имеет степень над k и что, следовательно, многочлен неприводим.

Пусть теперь — степень простого числа.

Предположим, что совпадает с характеристикой. Пусть а — корень степени из а. Тогда и, следовательно, при По соображениям, еще более тривиальным, чем вышеприведенные, мы видим, что а не является степенью в и, значит, неприводим над . Следовательно, неприводим над .

Предположим, что не совпадает с характеристикой. Снова рассуждаем по индукции. Пусть а — некоторый корень многочлена Сначала рассмотрим случай Пусть — примитивный корень степени из единицы. Многочлен а над либо неприводим, либо разлагается на линейные множители. Во втором случае Поскольку абелево, то есть расширение Галуа над k. Так как всякий сопряженный элемент имеет вид , где -некоторый примитивный корень степени из единицы, то . Следовательно, все корни не лежащие в k, имеют одинаковую степень над k, делящую Но это невозможно и, следовательно, многочлен неприводим. Пусть теперь 2. Положим . Имеем

Предположим, что а не является степенью в k(а). Пусть корень . Если нечетно, то по индукции А имеет степень над , следовательно, степень над k, и все готово. Если же , то предположим, что , где . Пусть -норма из в k. Тогда , где . Ниже будет показано, что в этом случае из наших предположений относительно а вытекает неприводимость многочлена Предположим, что а — для некоторого и выведем из этого следствия.

Взяв норму из в k, находим

Если нечетно, то а будет степенью в противоречие. Следовательно, -квадрат в k. Запишем где Так как а не является квадратом в k, то заключаем, что не является квадратом в k. Пусть Над ) справедливо разложение

Каждый множитель имеет степень и мы рассуждаем по индукции. Если приводим над то либо есть квадрат в либо лежит . В любом случае будет квадратом в скажем

где

Отсюда получаем . Возведение в квадрат дает противоречие, а именно

Из однозначности разложения на множители мы теперь заключаем, что не может разлагаться в на множители, что и доказывает теорему.

Условия нашей теоремы необходимы, поскольку

При многочлен приводим.

Следствие 1. Пусть k — поле и для некоторого простого числа элемент не является степенью. Если совпадает с характеристикой или же нечетно, то для всякого многочлен неприводим.

Доказательство. Это утверждение логически слабее, чем утверждение теоремы.

Следствие 2. Пусть - поле, причем алгебраическое замыкание k поля k имеет конечную степень над k. Тогда , где и k имеет характеристику 0.

Доказательство. Заметим, что k нормально над k. Если k несепарабельно над k, то -чисто несепарабельно над некоторым подполем и имеет над ним степень (в силу гл. VII, § 7), следовательно, существуют подполе Е, содержащее k, и элемент такие, что неприводим над Е. В силу следствия 1, k не может быть конечной степени над Е. (Если читатель опустил § 7 гл. VII, то он может ограничиться рассмотрением случая характеристики 0.)

Итак, мы можем предполагать, что k является расширением Галуа над k. Пусть . Тогда k будет расширением Галуа также и над . Пусть G — группа Галуа Предположим, что имеется простое число , делящее порядок G. Пусть Н — подгруппа порядка — соответствующее неподвижное поле. Тогда . Если равно характеристике, то упражнение S в конце главы дает противоречие. Поэтому мы можем предполагать, что не равно характеристике. Тогда корни степени из единицы, отличные от 1, являются корнями многочлена степени (а именно, и, следовательно, должны лежать в F, В силу теоремы 10 из § 6 отсюда вытекает, что k есть поле разложения некоторого многочлена Многочлен должен быть приводим.

В силу нашей теоремы имеем , где , откуда

Но мы предполагали, что — противоречие.

Остается доказать, что k имеет характеристику 0. Предположим, что k имеет характеристику (но никакой буквы для обозначения характеристики мы не используем, поскольку уже занято). Поле, получаемое присоединением примитивного корня из единицы к простому полю F, является циклическим над этим простым полем. В силу теоремы 4 из § 1 группа Галуа поля k над k, являющаяся циклической порядка 2 и порождаемая, скажем, элементом о, соответствует некоторой подгруппе группы Галуа расширения F над F. Однако расширение будучи циклическим над F, обладает только одним подполем степени 2 над F, и это подполе должно содержать поскольку I имеет степень 1 или 2 над F. Так как , то неподвижное подполе в относительно о должно совпадать с F. Это означает, что имеет степень 2 над F, что дает противоречие, если взять достаточно большим.

Следствие 2 принадлежит Артину.