§ 6. Сепарабельные расширения

Пусть К — конечно порожденное расширение поля k, Мы будем говорить, что оно сепарабельно порождено, если можно найти базис трансцендентности поля такой, что К — сепарабельное алгебраическое расширение поля Такой базис трансцендентности называется сепарирующим базисом трансцендентности для К над

Через мы всегда будем обозначать характеристику поля, если она отлична от 0. Поле, получаемое из k присоединением корней степени из всех элементов k, будет обозначаться через . Композит всех этих полей по обозначается символом

Предложение 4. Следующие условия, относящиеся к расширению К поля k, эквивалентны.

(3) Всякое подполе поля К, содержащее k и конечно порожденное над k, сепарабельно порождено.

Доказательство. Ясно, что (1) влечет (2). Чтобы доказать, что (2) влечет (3), мы можем, очевидно, предполагать, что К конечно порождено над k, скажем . Пусть степень трансцендентности этого расширения равна . Если , то доказательство закончено. В противном случае пусть — базис трансцендентности. Тогда элемент алгебраичен

Пусть -многочлен наименьшей степени, для которого

Тогда неприводим. Мы утверждаем, что не все встречаются в нем обязательно в степени, кратной . Если бы это было так, то мы могли бы написать где одночлены от Это означало бы, что линейно зависимы над (извлечем корень степени из уравнения . Однако линейно независимы над k (иначе уравнение для было бы меньшей степени) и мы, таким образом, получаем противоречие с линейной свободой Итак, скажем, встречается не только в степени, кратной многочлене Далее, неприводим в и, следовательно, есть неприводимое уравнение для над . Так как встречается не только в степени, кратной , то это уравнение есть сепарабельное уравнение для над иными словами, — сепарабельный алгебраический элемент над Если базис трансцендентности, то доказательство закончено. Если нет, то, скажем сепарабелен над Тогда сепарабельно над Рассуждая по индукции, мы видим, что этот процесс может быть продолжен до тех пор, пока не получится базис трансцендентности. Это доказывает, что (2) влечет (3). Это также доказывает, что сепарирующий базис трансцендентности для над k может быть выбран из любого данного множества образующих. Для завершения доказательства достаточно, предполагая К конечно порожденным над k, убедиться в том, что (3) влечет (1). Пусть (-сепарирующий базис трансцендентности для К над k. Тогда К — сепарабельное алгебраическое расширение ). В силу предложения и линейно свободны. Положим . Тогда чисто несепарабельно над в соответствии с элементарной теорией конечных алгебраических расширений и, следовательно, линейно свободно от К над . Используя предложение 1, заключаем, что К линейно свободно от L над k, что и доказывает наше предложение.

Расширение К поля k, удовлетворяющее условиям предложения 4, называется сепарабельным, что согласуется с использованием этого слова для алгебраических расширений.

Утверждение об эквивалентности первых двух условий нашего предложения известно как критерий Маклейна. Оно имеет следующие непосредственные следствия:

Следствие 1. Если К сепарабельно над k и Е — подполе в К, содержащее k, то Е сепарабельно над k.

Следствие 2. Пусть Е — сепарабельное расширение над k и К — сепарабельное расширение над Е. Тогда К — сепарабельное расширение над k.

Доказательство. Применить предложение 1 и определение сепарабельности.

Следствие 3. Если поле k совершенно, то всякое расширение над k сепарабельно.

Следствие 4. Пусть К — сепарабельное расширение над k, алгебраически свободное от расширения L поля k. Тогда KL-сепарабельное расширение поля L.

Доказательство. Всякий элемент из допускает представление в виде комбинации конечного числа элементов из К и L. Следовательно, любое конечно порожденное подполе в , содержащее L, содержится в композите , где F - некоторое подполе в конечно порожденное над k. В силу следствия 1 мы можем предполагать, что К конечно порождено над k. Пусть — базис трансцендентности К над k, такой, что К — сепарабельное алгебраическое расширение поля k (t). По предположению есть базис трансцендентности над L, и так как всякий элемент из К является сепарабельным алгебраическим над то он также сепарабелен над Следовательно, KL сепарабельно порождено над L. Следствие доказано.

Следствие S. Пусть К и L — два сепарабельных расширения поля k, алгебраически свободные друг от друга над k. Тогда сепарабельно над

Доказательство. Применить следствия 4 и 2.

Следствие 6. Пусть К, L - два расширения поля k, линейно свободные над k. Тогда К сепарабельно над k в том и только в том случае, если сепарабельно над

Доказательство. Если поле К не сепарабельно над k, то оно не линейно свободно от над k и тем более не линейно свободно от над k.

Отсюда в силу предложения 1 вытекает, что не линейно свободно от над L и, следовательно, не сепарабельно над L. Обратное есть частный случай следствия 4, поскольку линейно свободные поля алгебраически свободны.

Мы завершим наше рассмотрение сепарабельности двумя результатами. Первый из них уже был получен в ходе доказательства первой части предложения 4, но мы сформулируем его здесь в явном виде.

Предложение S. Для конечно порожденного сепарабельного расширения К поля k сепарирующий базис трансцендентности может быть выбран из любого заданного множества образующих.

Чтобы сформулировать второй результат, обозначим через поле, получаемое возведением всех элементов поля К в степень.

Предложение 6. Пусть К — конечно порожденное расширение поля k. Если для некоторого , то К — сепарабельное алгебраическое расширение поля k. Обратно, если К — сепарабельное алгебраическое расширение над k, то для всех т.

Доказательство. В случае когда — конечное алгебраическое расширение, утверждение уже было доказано в элементарной теории конечных алгебраических расширений (гл. VII, § 7, следствие 4). Пусть К трансцендентно над k и — базис трансцендентности. Тогда К есть конечное алгебраическое, но не сепарабельное расширение поля а потому Это доказывает наше предложение.