§ 6. Знакопеременные произведения

Напомним, что - линейное отображение называется знакопеременным, если как только для некоторых

Пусть — подмодуль в , порожденный всеми элементами вида , где для некоторых Положив

будем иметь -линейное отображение (называемое каноническим), получаемое из композиции

Ясно, что наше отображение является знакопеременным. Более того, оно универсально по отношению к -линейным знакопеременным отображениям на Е. Другими словами, если такое отображение, то существует однозначно определенное линейное отображение для которого коммутативна следующая диаграмма:

Отображение существует, так как мы можем сначала получить индуцированное отображение делающее коммутативной диаграмму

а это индуцированное отображение обращается в нуль на и, следовательно, индуцирует .

Таким образом, получаем функтор из категории модулей со значениями в той же категории.

Образ элемента при каноническом отображении в будет обозначаться через Этот элемент является также образом при промежуточном гомоморфизме .

Обозначим через прямую сумму . Мы превратим в градуированную -алгебру и будем называть ее знакопеременной алгеброй модуля Е). Сначала рассмотрим общую ситуацию с произвольными градуированными кольцами.

Пусть снова — аддитивный моноид и — -градуированная -алгебра. Предположим, что для каждого задан подмодуль и пусть Предположим, что а — идеал в А.

Тогда а называется однородным идеалом, и мы можем определить градуированную структуру на . Далее, билинейное отображение

переводит . Таким образом, используя представителей из соответственно, мы можем определить билинейное отображение

и, следовательно, билинейное отображение , которое превращает в градуированную -алгебру.

Применим это к и введенным выше модулям Если в произведении то лежит в при любых аналогично для произведения слева. Следовательно, прямая сумма , есть идеал в Т(Е), и мы можем определить на структуру -алгебры. Произведение однородных элементов задается формулой

Мы будем использовать символ а также для обозначения произведения в . Это произведение называется знакопеременным произведением. Если , то как это вытекает из того факта, что

Заметим, что есть функтор из категории модулей в категорию градуированных k-алгебр. Для всякого линейного отображения мы получаем отображение

такое, что для имеем

Кроме того, является гомоморфизмом градуированных -алгебр.

Предложение 12. Пусть Е — свободный модуль размерности над k. Если то Пусть базис для Е над k. Если то модуль свободен над и элементы

образуют базис для над k. При этом

Доказательство. Сначала докажем наше утверждение для

Всякий элемент из Е может быть записан в виде и следовательно, порождает как это вытекает из формулы . С другой стороны, из теории определителей мы знаем, что для заданного существует однозначно определенная полилинейная знакопеременная форма на Е, такая, что

Следовательно, существует однозначно определенное линейное отображение

принимающее на значение . Из этого тотчас вытекает, что служит базисом для над k.

Докажем теперь наше утверждение для . Предположим, что мы имеем некоторое соотношение

где . Рассмотрим любой набор из индексов такой, что и обозначим через те значения i, которые не встречаются среди

Возьмем знакопеременное произведение нашего соотношения с Тогда во всех членах суммы, кроме (-члена, мы будем иметь знакопеременные произведения с повторяющимися компонентами и, следовательно, получим

Перетасовывая сомножители в так, чтобы получить мы можем только изменить знак в правой части этого равенства. Из сказанного в начале доказательства вытекает, что Следовательно, мы доказали наше утверждение для

При мы имеем дело с пустым произведением и 1 служит базисом для над k. Случай мы в качестве тривиального упражнения предоставляем читателю.

Утверждение, касающееся размерности, тривиально, если принять во внимание тот факт, что существует биективное соответствие между множеством базисных элементов и подмножествами множества целых чисел ).

Замечание. Можно провести первую часть доказательства, а именно для не предполагая известным существование определителей. Для этого нужно показать, что обладает в одномерным дополнительным подмодулем. Это может быть сделано достаточно простыми средствами, что мы предоставляем читателю в качестве упражнения. В случае когда -поле, это упражнение совсем тривиально, поскольку сразу же проверяется, что не

Этот другой подход к теореме доказывает тогда существование определителей.