Доказательство. Пусть 
для 
. После изменения нумерации базисных элементов мы можем считать, что, скажем, 
для 
Пусть 
любой ортогональный базис и 
. Допустим, 
и 
для 
. Докажем, что 
. Действительно, достаточно доказать, что
линейно независимы, так как тогда 
, откуда 
в силу симметрии. Предположим, что
Тогда
Возведение в квадрат обеих частей равенства дает
Левая сторона 0, а правая сторона 
. Следовательно, обе стороны равны 0, откуда вытекает, что 
другими словами, что наши векторы линейно независимы.
Следствие 1. Предположим, что всякий положительный элемент в k является квадратом. Тогда существует ортогональный базис 
пространства Е, такой, что 
для 
для 
, причем число 
однозначно определено.
Доказательство. Разделим каждый вектор произвольного ортогонального базиса на квадратный корень из абсолютной величины его квадрата.
Базис, обладающий свойством, описанным в следствии, называется ортонормальным. Если X — элемент из Е, имеющий относительно такого базиса координаты 
то
Будем говорить, что симметрическая форма g положительно определенная, если 
для всех 
. Это имеет место тогда и только тогда, когда в теореме 
. Мы будем говорить, что g отрицательно определенная, если 
для всех 
.
Следствие 2. Векторное пространство Е обладает ортогональным разложением 
таким, что g будет положительно определенной на 
и отрицательно определенной на 
Размерность 
одна и та же во всех таких разложениях.
Предположим теперь, что форма g положительно определенная и что всякий положительный элемент в k является квадратом.
Определим норму элемента 
, положив
Тогда 
если 
. Имеем также неравенство Шварца
для всех 
Оно доказывается обычным способом. Разложим
по билинейности и положим 
. Получим
Если 
или 
, то наше неравенство тривиально. Если ни один из этих элементов 
, то разделим на 
и получим то, что требуется.
Из неравенства Шварца выводится неравенство треугольника
Мы предоставляем вывод читателю в качестве шаблонного упражнения.
В случае когда мы имеем положительно определенную форму, существует канонический путь получения ортонормального базиса посредством индуктивного процесса, начинающегося с произвольного базиса 
. Пусть
Тогда 
имеет норму 1. Положим
а затем
По индукции полагаем
и
Тогда 
— ортонормальный базис. Только что описанный индуктивный процесс известен под названием ортогонализации Грама — Шмидта.
такое, что каков бы ни был ортогональный базис 
для Е, среди 
элементов 
в точности 
будут 
точности 
будут 
