§ 5. Линейно свободные расширения

В этом параграфе мы обсудим вопрос о том, каким образом два расширения К и L поля k ведут себя по отношению друг к другу. Мы будем считать, что все рассматриваемые поля содержатся в одном алгебраически замкнутом поле

Расширение К называется линейно свободным) от L над k, если всякое конечное множество элементов из К, линейно независимое над k, линейно независимо и над

Это определение несимметрично, но на самом деле, как мы сейчас докажем, свойство быть линейно свободным симметрично относительно К и L. Предположим, что К линейно свободно от L над k. Пусть элементы из L, линейно независимые над k. Допустим, что имеется нетривиальное соотношение линейной зависимости над Пусть, скажем, линейно независимы над k, а

являются их линейными комбинациями

Перепишем соотношение (1) в виде

и, собрав члены после раскрытия скобок во второй сумме, получим

Поскольку игреки линейно независимы над k, коэффициенты при не равны 0. Это противоречит линейной свободе К от L над k. Дадим теперь два критерия линейной свободы.

Критерий 1. Пусть К — поле частных кольца R и L — поле частных кольца Чтобы убедиться в том, что L и К линейно свободны над k, достаточно показать, что если элементы из 6 линейно независимы над k, то между ними нет линейных соотношений и над R.

Действительно, если элементы из L линейно независимы над k и если имеется соотношение мы можем выбрать у в S и в R, такие, что для всех для всех . Умножение нашего соотношения на дает линейную зависимость между элементами из R и S. Однако элементы очевидно, линейно независимы над k, что и доказывает критерий.

Критерий 2. Пусть снова R — подкольцо в К, такое, что К есть его поле частных, и пусть R — векторное пространство над k с базисом Чтобы доказать, что К и L линейно свободны над k, достаточно показать, что элементы этого базиса линейно независимы и над L. Действительно, предположим, что это так. Пусть

— элементы из R, линейно независимые над k. Они лежат в конечномерном векторном пространстве, порожденном некоторыми из , скажем и могут быть дополнены до базиса этого пространства над k. При подъеме это -мерное векторное пространство над L должно сохранить свою размерность, поскольку элементы и остаются по предположению линейно независимыми, а, следовательно, иксы также должны остаться линейно независимыми.

Следующее предложение даег полезный критерий, позволяющий устанавливать линейную свободу в башне полей:

Предложение 1. Пусть К — поле, содержащее некоторое другое поле k, и еще два расширения поля k. Тогда К и L линейно свободны над k в том и только в том случае, если К и Е линейно свободны над k, а КЕ, L линейно свободны над Е.

Доказательство. Предположим сначала, что линейно свободны над k и КЕ, L линейно свободны над Е. Пусть — базис К как векторного пространства над k (мы используем сами элементы этого базиса в качестве их индексирующего множества), и пусть — базис Е над k, а — базис L над Е. Тогда будет базисом L над k. Если К и L не являются линейно свободными над k, то существует соотношение

Изменение порядка суммирования дает

вопреки линейной свободе Z. и над

Обратно, предположим, что К и Z. линейно свободны над Тогда тем более К я Е линейно свободны над Поле КЕ есть поле частных кольца порожденного над Е всеми элементами из К. Это кольцо является векторным пространством над Е, и базис К над служит также базисом для кольца над Е. Из этого замечания и из критериев линейной свободы мы видим, что достаточно доказать, что элементы такого базиса остаются линейно независимыми над L. Но это вытекает из предположения, что К и L линейно свободны над

Введем еще одно понятие, касающееся двух расширений К и L поля Мы будем говорить, что К алгебраически свободно от L над если всякое конечное множество элементов из К, алгебраически независимое над алгебраически независимо и над L. Пусть — два множества элементов из Q. Мы будем говорить, что они свободны над (или алгебраически независимы над ), если поля алгебраически свободны над

Так же как и в случае линейной свободы, наше определение несимметрично; докажем, что в действительности выражаемое им отношение симметрично. Именно, предположим, что К алгебраически свободно от L над Пусть — элементы из L, алгебраически независимые над k. Допустим, что они становятся зависимыми над К? Тогда они являются алгебраически зависимыми уже над некоторым подполем F в К, конечно порожденным над k и, скажем, имеющим степень трансцендентности над k. Подсчет степени трансцендентности поля над k двумя способами приводит к противоречию (см. упражнение 5):

Предложение 2. Если К и L линейно свободны над то они алгебраически свободны над

Доказательство. Пусть — элементы из К, алгебраически независимые над Предположим, что они становятся алгебраически зависимыми над L. Имеем соотношение

между одночленами с коэффициентами из L.

Это — линейное соотношение между Но последние линейно независимы над k, так как иксы предполагаются алгебраически независимыми над k, — противоречие.

Предложение 3. Пусть L — расширение поля k и -множество алгебраически независимых величин над L. Тогда поле линейно свободно от L над

Доказательство. Согласно критериям линейной свободы, достаточно доказать, что элементы базиса кольца которые линейно независимы над k, остаются линейно независимыми и над L. Но одночлены дают базис над k. Они должны остаться линейно независимыми над L, поскольку, как мы уже видели, линейное соотношение дает алгебраическое соотношение. Предложение доказано.

Отметим в заключение, что свойство двух расширений К и L поля k быть линейно свободными или алгебраически свободными является свойством конечного типа. Для доказательства того, что они обладают каким-либо из этих свойств, достаточно доказать это для всех подполей в К и L соответственно, конечно порожденных над k. Это следует из того факта, что в определениях фигурирует только конечное число величин.