§ 2. Группа гомоморфизмов

Пусть А — кольцо и — А-модули. Мы обозначаем через множество А - гомоморфизмов модуля X в X. Тогда есть абелева группа, причем закон сложения — это закон сложения отображений в абелеву группу.

Если кольцо А коммутативно, то мы можем превратить в А - модуль, взяв в качестве отображение, для которого

Проверка аксиом А-модуля тривиальна. Однако если А не коммутативно, то приходится рассматривать просто как абелеву группу.

Можно также рассматривать Нотл как функтор. В действительности это функтор от двух аргументов, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. В самом деле, пусть — А-модуль и

— А-гомоморфизм. Тогда имеем индуцированный гомоморфизм

(обращение стрелки!), задаваемый правилом

Это иллюстрируется следующей последовательностью отображений

Тот факт, что будет гомоморфизмом, представляет собой просто перефразировку свойства которое тривиально проверяется. Если , то композиция с действует на g как тождественное отображение, т. е.

Имея последовательность А-гомоморфизмов

мы получаем индуцированную последовательность

Для всякой точной последовательности

индуцированная последовательность

точна.

Это важный факт, доказательство которого тривиально. Например, если — А-гомоморфизм, то его образом в будет композиция g с сюръективным отображением X на . Если эта композиция равна 0, то поскольку сюръективно. В качестве другого примера рассмотрим гомоморфизм для которого композиция

равна 0.

Тогда g обращается в 0 на образе К. Отображение g, таким образом, можно разложить посредством фактормодуля

Так как сюръективно, то имеем изоморфизм

Следовательно, мы можем пропустить g через , показав тем самым, что ядро гомоморфизма

содержится в образе гомоморфизма

Проверка других условий, необходимых для точности, предоставляется читателю.

Аналогичную ситуацию мы имеем и по отношению ко второму аргументу, только в этом случае функтор ковариантен. Таким образом, для фиксированного X и последовательности Л-гомоморфизмов

имеем индуцированную последовательность

Для всякой точной последовательности

индуцированная последовательность

точна.

Доказательство предоставляется читателю. Gно немедленно вытекает из определений.

Отметим, что точность последовательности

означает, что модуль Y вкладывается в Y, т. е. изоморфен подмодулю в К. Если , то всякий гомоморфизм в Y может рассматриваться как гомоморфизм в Y. Это соответствует вложению

Пусть М — А-модуль. Из соотношений

и их правого аналога, а именно

а также из того факта, что существует единичный элемент для композиции, именно мы заключаем, что есть кольцо, умножением в котором служит композиция отображений. Если — целое число то мы можем писать для обозначения - кратной итерации и можем определить как Согласно общему определению эндоморфизмов в категории, мы можем также писать вместо .

Так как А-модуль М—абелева группа, то множеству групповых гомоморфизмов М в себя) есть кольцо и мы могли бы определить действие А на М как кольцевой гомоморфизм .